0 (número)

 Nota: Para outros significados, veja Zero (desambiguação).

0
Nomes dos numerais
Cardinal	0 (número)
Ordinal	N/A
Notações nos principais sistemas
Numeração indo-arábica	0
Numeração romana	N/A
Numeração egípcia
Numeração grega	N/A
Numeração jónica	ō
Numeração chinesa	〇
Numeração hebraica	N/A
Numeração arménia	N/A
Numeração Āryabhaṭa	0
Numeração maia
Sistema binário	0
Sistema octal	0
Sistema duodecimal	0
Sistema hexadecimal	0
Propriedades matemáticas
Fatorização	N/A
Lista de números inteiros
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

O zero (0) é um número[1] e também um algarismo usado para representar número nulo no sistema de numeração. Desempenha um papel central na matemática como a identidade aditiva dos números inteiros, dos números reais e de muitas outras estruturas algébricas. Como dígito, 0 é usado como um espaço reservado nos sistemas de valores locais.

Etimologia

O vocábulo zero foi introduzido na língua portuguesa a partir do francês zéro, pelo vêneto zero que, assim como a palavra cifra, veio do italiano zefiro, através do latim medieval zephirum, via ṣifr ou ṣafira (tradução árabe do sânscrito śūnya).[2][3]

Na época pré-islâmica, a palavra ṣifr (em árabe: ﺻﻔﺮ) tinha o significado de "vazio" ou "nada"..[4] Por volta de 600 a.C. os indianos criaram a noção de zero, adotada pelos árabes. Ṣifr passou a significar zero, ao ser usado para traduzir o śūnya (em sânscrito: शून्य) dos hindus.[4]

No século XIII (13), o matemático Leonardo Fibonacci (c. 1170–1250), conhecido por introduzir o sistema decimal na Europa, ao transcrever do árabe ṣifr, usou o termo zephyrum, que se tornou zefiro em italiano, subsequentemente contraído em zero na língua veneziana.[5] A palavra italiana zefiro (do latim e grego zephyrus), literalmente "vento oeste", já existia, e pode ter influenciado a ortografia na transcrição do árabe ṣifr. No latim medieval ṣifr foi transcrito como cifra.[6] O primeiro registro na língua inglesa foi em 1598.[7]

História

Refere-se que a origem do zero somente ocorreu em três povos: babilônios, hindus[8] e maias. Na Europa, a definição do símbolo zero ocorreu durante a Idade Média, após a aceitação dos algarismos arábicos, que foram divulgados no continente europeu por Leonardo Fibonacci.[9] Esta descoberta representou na época um paradoxo, pois era difícil imaginar a quantificação e a representação do nada, do inexistente. Alguns consideram o zero como sendo uma das maiores invenções da humanidade, pois abriu espaço para a criação de todas as operações matemáticas que são conhecidas atualmente.[10][11]

A representação gráfica do zero demorou cerca de 400 anos para ser incorporada ao sistema decimal hindo-arábico de numeração. Definir graficamente um símbolo para o zero foi de extrema importância para se poder posicionar precisamente os dígitos que formam qualquer número desejado, tanto em um sistema numérico decimal, quanto no uso do ábaco, que representava o zero como sendo uma casa vazia. Originalmente o zero, representado como uma casa vazia, foi o maior avanço no sistema de numeração decimal. Portanto, o zero evoluiu de um vácuo para uma casa vazia ou a um espaço em branco para enfim transformar-se em um símbolo numérico usado pelos hindus e pelos árabes antigos. No início dos anos de 1600, ocorreu uma importante modificação no formato da grafia do décimo número ou do zero, que inicialmente era pequeno e circular “o” evoluindo para o atual formato oval “0” o que possibilitou sua distinção da letra “o” minúscula ou da “O” maiúscula.

Na literatura matemática atual, o significado do valor do zero é usado como se não houvesse nenhum valor numérico ou substancial propriamente dito e também desempenha papel chave da notação necessária ao sistema decimal, em que o zero muitas vezes surge como um guardador de lugar (para diferenciar, por exemplo, números como 52 de 502, de 5002, etc), e para expressar todos os números com nove dígitos, do um ao nove e o zero como o décimo numeral.

Mas é importante frisar que, nos conjuntos numéricos, os números foram surgindo com a necessidade, através das operações com seus elementos. Exemplo: ao operar 2 - 3, chegou-se ao número negativo -1. Como só se conheciam os números N*, houve a necessidade de se criar um novo conjunto, os dos Z*. Assim, ao se operar 1 - 1, houve a necessidade de se representar o vazio e incluí- lo nos conjuntos. Assim os naturais e, como não dizer, todos os conjuntos numéricos estavam completos (já que um conjunto é completo quando ele é fechado para determinada operação). Existem criaturas não-humanas que podem entender o conceito altamente abstrato de zero.[12]

Propriedades

Para qualquer número real ${\displaystyle x}$, tem-se ${\displaystyle x+0=0+x=x}$ e também ${\displaystyle x-0=x}$. Além disso, se ${\displaystyle x\neq 0}$ então ${\displaystyle x^{0}=1}$. Por outro lado, não se define a "divisão" ${\displaystyle x/0}$.

Matemática

Zero à esquerda na carreira de ónibus "02", anteriormente designada apenas "2".

0 é o número inteiro imediatamente anterior a 1. Zero é um número par[13] porque é divisível por 2 sem resto. 0 não é positivo nem negativo,[14] ou ambos positivo e negativo.[15] Muitas definições[16] inclui 0 como um número natural, caso em que é o único número natural que não é positivo. Zero é um número que quantifica uma contagem ou uma quantidade de tamanho nulo. Na maioria das culturas, 0 foi identificado antes que a ideia de coisas negativas (ou seja, quantidades menores que zero) fosse aceita.

Como um valor ou um número, zero não é o mesmo que o dígito zero, usado em sistemas numéricos com notação posicional. Posições sucessivas de dígitos têm pesos maiores, então o dígito zero é usado dentro de um numeral para pular uma posição e dar pesos apropriados aos dígitos anteriores e seguintes. Um dígito zero nem sempre é necessário em um sistema de número posicional (por exemplo, o número 02). Em alguns casos, um zero à esquerda pode ser usado para distinguir um número.

Álgebra elementar

O número 0 é o menor inteiro não negativo. O número natural após 0 é 1 e nenhum número natural precede 0. O número 0 pode ou não ser considerado um número natural, mas é um inteiro e, portanto, um número racional e um número real (bem como um número algébrico e um número complexo).

O número 0 não é positivo nem negativo e geralmente é exibido como o número central em uma reta numérica. Não é um número primo nem um número composto. Não pode ser primo porque tem um número infinito de fatores e não pode ser composto porque não pode ser expresso como um produto de números primos (já que 0 deve ser sempre um dos fatores).[17] Zero é, entretanto, par (ou seja, um múltiplo de 2, bem como um múltiplo de qualquer outro número inteiro, racional ou real)

A seguir estão algumas regras básicas (elementares) para lidar com o número 0. Essas regras se aplicam a qualquer número real ou complexo x, a menos que indicado de outra forma.

• Adição: x + 0 = 0 + x = x. Ou seja, 0 é um elemento de identidade (ou elemento neutro) em relação à adição.
• Subtração: x − 0 = x e 0 − x = −x.
• Multiplicação: x · 0 = 0 · x = 0.
• Divisão: 0x = 0, para diferente de zero x. Mas x0 é indefinido, porque 0 não tem inverso multiplicativo (nenhum número real multiplicado por 0 produz 1), uma consequência da regra anterior.
• Exponenciação: x^0 = xx = 1, exceto que o caso x = 0 pode ser deixado indefinido em alguns contextos. Para todos os reais positivos x, 0^x = 0.

A expressão 00, que pode ser obtido na tentativa de determinar o limite de uma expressão da forma f(x)g(x) como resultado da aplicação do operador lim independentemente a ambos os operandos da fração, é uma chamada "forma indeterminada". Isso não significa simplesmente que o limite procurado seja necessariamente indefinido; em vez disso, significa que o limite de f(x)g(x), se existir, deve ser encontrado por outro método, como a regra de l'Hôpital.

A soma de 0 números (a soma vazia) é 0, e o produto de 0 números (o produto vazio) é 1. O fatorial 0! avalia como 1, como um caso especial do produto vazio.

Outros ramos da matemática

• Na teoria dos conjuntos, 0 é a cardinalidade do conjunto vazio: se alguém não tiver jabuticabas, terá 0 jabuticabas. Na verdade, em certos desenvolvimentos axiomáticos da matemática a partir da teoria dos conjuntos, 0 é definido como o conjunto vazio. Quando isso é feito, o conjunto vazio é a atribuição cardinal de von Neumann para um conjunto sem elementos, que é o conjunto vazio. A função de cardinalidade, aplicada ao conjunto vazio, retorna o conjunto vazio como um valor, atribuindo a ele 0 elementos.
• Também na teoria dos conjuntos, 0 é o menor número ordinal, correspondendo ao conjunto vazio visto como um conjunto bem ordenado.
• Na lógica proposicional, 0 pode ser usado para denotar o valor verdade falso.
• Na álgebra abstrata, 0 é comumente usado para denotar um elemento zero, que é um elemento neutro para adição (se definido na estrutura em consideração) e um elemento absorvente para multiplicação (se definido).
• Na teoria da rede, 0 pode denotar o elemento inferior de uma rede limitada.
• Na teoria das categorias, 0 às vezes é usado para denotar um objeto inicial de uma categoria.
• Na teoria da recursão, 0 pode ser usado para denotar o grau de Turing das funções computáveis parciais.

Termos matemáticos relacionados

• Um zero de uma função f é um ponto x no domínio da função tal que f (x) = 0. Quando há um número finito de zeros, eles são chamados de raízes da função. Isso está relacionado a zeros de uma função holomórfica.
• A função zero (ou mapa zero) em um domínio D é a função constante com 0 como seu único valor de saída possível, ou seja, a função f definida por f (x) = 0 para todo x em D. A função zero é a única função que é par e ímpar. Uma função zero particular é um morfismo zero na teoria das categorias; por exemplo, um mapa zero é a identidade no grupo aditivo de funções. O determinante em matrizes quadradas não invertíveis é um mapa de zero.
• Vários ramos da matemática têm zero elementos, que generalizam ou a propriedade 0 + x = x, ou a propriedade 0 · x = 0, ou ambas.

Ver também

• Divisão por zero

Referências

1. Bertrand Russell (2009). Principles of Mathematics. Routledge. p. 125. ISBN 978-1-135-22310-6.
2. Origem da palavra ZERO - Etimologia - Dicionário Etimológico
3. zero | Origin and meaning of zero by Online Etymology Dictionary
4. Smithsonian Institution, Oriental Elements of Culture in the Occident, p. 518, em Google Books, Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution. Harvard University Archives. Citação (em inglês): "Sifr occurs in the meaning of "empty" even in the pre-Islamic time. … Arabic sifr in the meaning of zero is a translation of the corresponding India sunya."
5. Douglas Harper (2011), Zero, Etymology Dictionary. Citação (em inglês): "c. 1600, from French zéro or directly from Italian zero, from Medieval Latin zephirum, from Arabic sifr "cipher," translation of Sanskrit sunya-m "empty place, desert, naught"
6. Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 978-0-471-39340-5
7. Karl Menninger (2013). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. Dover Publications. p. 401. ISBN 978-0-486-31977-3.
8. Perides Moisés, Roberto; Castro Lima, Luciano. «Zero - História do número». UOL - Educação. Consultado em 28 de julho de 2013 
9. Ward, Mariellen (20 de outubro de 2018). «Como a Índia deu ao mundo o número zero». BBC News Brasil 
10. Artur Louback Lopes. «Como se escreve zero em números romanos?». Mundo Estranho. Editora Abril. Consultado em 5 de março de 2012 
11. Maria Fernanda Vomero. A importância do número zero. Superinteressante, 31 de outubro de 2016.
12. June 2021, Nicoletta Lanese-Staff Writer 14. «Crows understand the 'concept of zero' (despite their bird brains)». livescience.com (em inglês). Consultado em 14 de junho de 2021 
13. Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in Penner, Robert C. (1999). Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. [S.l.]: World Scientific. p. 34. ISBN 978-981-02-4088-2 
14. W., Weisstein, Eric. «Zero». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 4 de abril de 2018 
15. Weil, Andre (6 de dezembro de 2012). Number Theory for Beginners (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-9957-8 
16. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The historical roots of elementary mathematics. [S.l.]: Courier Dover Publications. pp. 254–255. ISBN 978-0-486-13968-5 , Extract of pp. 254–255
17. Reid, Constance (1992). From zero to infinity: what makes numbers interesting 4th ed. [S.l.]: Mathematical Association of America. p. 23. ISBN 978-0-88385-505-8. zero neither prime nor composite. 

Ligações externas

• Searching for the World’s First Zero
• A History of Zero
• Zero Saga
• The History of Algebra
• Edsger W. Dijkstra: Why numbering should start at zero, EWD831 (PDF de um manuscrito)
• Weisstein, Eric W. «0». MathWorld (em inglês) 
• Textos no Wikisource:
  • Chisholm, Hugh, ed. (1911). «Zero». Encyclopædia Britannica (em inglês) 11.ª ed. Encyclopædia Britannica, Inc. (atualmente em domínio público) 
  • «Zero». Encyclopedia Americana. 1920 

• Portal da matemática