Identidade aditiva

Em matemática, a identidade aditiva de um conjunto que está equipado com a operação de adição é um elemento que quando adicionado a qualquer elemento ${\displaystyle x}$ do conjunto, resulta em ${\displaystyle x.}$ [1] Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, mas identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis.

Exemplos elementares

• A identidade aditiva familiar da matemática elementar é o zero, denotado por 0. Por exemplo, $${\displaystyle 5+0=5=0+5}$$
• Nos números naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$ e em todos os seus superconjuntos (os números inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ os números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$  os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$), a identidade aditiva é 0. Assim, para qualquer número ${\displaystyle n}$ pertencente a um desses conjuntos vale: $${\displaystyle n+0=n=0+n}$$

Definição formal

Seja ${\displaystyle \mathbb {N} }$ um conjunto fechado sob a operação de adição, denotada ${\displaystyle +}$. Um aditivo de identidade para ${\displaystyle \mathbb {N} }$ é qualquer elemento ${\displaystyle e}$ tal que, para qualquer elemento ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle e+n=n=n+e}$$

Exemplos

• Em um grupo a identidade aditiva é o elemento identidade do grupo, que é usualmente denotado como ${\displaystyle \mathbb {0} }$ e é único.[nota 1]
• Um anel ou corpo é um grupo sob a operação de adição e portanto também têm uma identidade aditiva única ${\displaystyle \mathbb {0} .}$ Este é definido como sendo diferente da identidade multiplicativa ${\displaystyle \mathbb {1} }$ se o anel (ou corpo) tem mais de um elemento. Se as identidades aditiva e multiplicativa são idênticas, então o anel é trivial.[nota 2]
• Em um sistema ${\displaystyle S}$com operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo, significando que para qualquer ${\displaystyle s}$ em ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle s\cdot \mathbb {0} =0.}$ [nota 3]

Ver também

• 0 (número)
• Elemento de identidade
• Multiplicativo de identidade

Referências

1. Kelley, W. M. (2013). O Guia Completo para Quem Não É C.D.F Álgebra. Rio de Janeiro: Alta Books. p. 15 

Provas

1. Seja ${\displaystyle (G,+)}$ um grupo fechado sob a operação de adição e sejam ${\displaystyle \mathbb {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {0^{'}} \in G}$ ambos identidades aditivas. Então para qualquer ${\displaystyle g\in G,}$ $${\displaystyle \mathbb {0} +g=g=g+\mathbb {0} }$$ e ${\displaystyle \mathbb {0^{'}} +g=g=g+\mathbb {0^{'}} }$ Segue diretamente do exposto acima que ${\displaystyle \mathbb {0^{'}} =\mathbb {0^{'}} +\mathbb {0} =\mathbb {0} +\mathbb {0^{'}} =\mathbb {0} .}$
2. Seja ${\displaystyle R}$ um anel e suponha que a identidade aditiva ${\displaystyle \mathbb {0} _{R}}$ e a identidade multiplicativa ${\displaystyle \mathbb {1} _{R}}$ são iguais, ou seja, ${\displaystyle \mathbb {0} _{R}=\mathbb {1} _{R}.}$ Seja ${\displaystyle r}$ qualquer elemento de ${\displaystyle R.}$ Então: $${\displaystyle r=r\times \mathbb {1} _{R}=r\times \mathbb {0} _{R}=\mathbb {0} _{R},}$$ provando que ${\displaystyle R}$ é trivial, isto é, ${\displaystyle R={0}_{R}.}$ O contrapositivo, que se ${\displaystyle R}$ é não-trivial então ${\displaystyle \mathbb {0} _{R}}$ é diferente de ${\displaystyle \mathbb {1} _{R}}$ deriva diretamente dessa prova.
3. Seja ${\displaystyle S}$ um sistema com operação de multiplicação distribuída sobre a adição. Seja ${\displaystyle s\in S}$ e seja ${\displaystyle \mathbb {0} }$ a identidade aditiva de ${\displaystyle S.}$ Então: $${\displaystyle s\cdot \mathbb {0} =s\cdot (\mathbb {0} +\mathbb {0} )=s\cdot \mathbb {0} +s\cdot \mathbb {0} }$$ $${\displaystyle s\cdot \mathbb {0} -s\cdot \mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0} }$$ $${\displaystyle \mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0} \rightarrow s\cdot \mathbb {0} =\mathbb {0} }$$