Evenwichtig priemgetal

Een evenwichtig priemgetal is een priemgetal met gelijke priemgetalhiaten onder en boven zich. Met andere woorden: het is het rekenkundig gemiddelde van het naastlagere en het naasthogere priemgetal. Uitgedrukt in algebraïsche termen: een priemgetal ${\displaystyle p_{n}}$, waarin ${\displaystyle n}$ zijn volgnummer is in de lijst van priemgetallen, heet evenwichtig indien

${\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}}$

Bijvoorbeeld: 53 is het 16^e priemgetal; het 15^e (47) en het 17^e priemgetal (59) zijn samen 106, en de helft daarvan is terug 53; daarom heet 53 een evenwichtig priemgetal.

Voorbeelden

De eerste evenwichtige priemgetallen zijn:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, …[1]

Oneindigheid

Er is een vermoeden, maar dit is nog niet bewezen, dat er oneindig veel evenwichtige priemgetallen bestaan.

Drie zulke opeenvolgende priemgetallen met gelijke afstand worden soms aangeduid als "CPAP-3".[2] Een evenwichtig priemgetal is per definitie het middelste getal in een CPAP-3. Per 2014 heeft het grootste bekende CPAP-3 getal 10546 cijfers – het is gevonden door David Broadhurst. Het is:[3]

${\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n-1}=p_{n}-2430,\quad p_{n+1}=p_{n}+2430}$

De waarde van de index n (volgnummer van het priemgetal) is onbekend.

Veralgemenisering

De evenwichtige priemgetallen kunnen worden gegeneraliseerd tot de "evenwichtige priemgetallen van de n^e orde". Een evenwichtig priemgetal van de n^e orde is een priemgetal ${\displaystyle p_{k}}$ dat gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van de n naastlagere plus de n naasthogere priemgetallen:

${\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}}$

Derhalve is een "gewoon" evenwichtig priemgetal een gegeneraliseerd evenwichtig priemgetal van de 1^e orde. Het kleinste evenwichtig priemgetal van de 2^e orde is 79 (het 22^e priemgetal); 79 is het gemiddelde van ${\displaystyle p_{20}}$ (71), ${\displaystyle p_{21}}$ (73), ${\displaystyle p_{23}}$ (83) en ${\displaystyle p_{24}}$ (89): ${\displaystyle (71+73+83+89)/4=316/4=79}$.[4] Er zijn ook reeksen gedocumenteerd van evenwichtige priemgetallen van de 3^e orde[5] en die van de 4^e orde.[6]

Bronnen en noten

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Balanced prime op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

---

1. (en) Balanced primes (of order one): primes which are the average of the previous prime and the following prime, OEIS A006562. Gearchiveerd op 22 maart 2023.
2. CPAP is de afkorting voor "consecutive primes in arithmetic progression".
3. (en) The Largest Known CPAP's, geraadpleegd op 2014-06-13.
4. (en) Balanced primes of order two, OEIS A082077. Gearchiveerd op 28 februari 2023.
5. (en) Balanced primes of order three, OEIS A082078. Gearchiveerd op 28 februari 2023.
6. (en) Balanced primes of order four, OEIS A082079. Gearchiveerd op 28 mei 2023.