Overvloedig getal

Een overvloedig getal is een positief geheel getal waarvan de som van zijn echte delers (dus inclusief ${\displaystyle 1}$, maar exclusief het getal zelf) groter is dan dat getal.

Is ${\displaystyle n}$ het overvloedige getal en is de som van de echte delers daarvan ${\displaystyle s(n)}$, dan is ${\displaystyle s(n)-n}$ de overvloed van ${\displaystyle n}$.

Overvloedige getallen zijn geïntroduceerd door Nicomachus van Gerasa in zijn Introductio Arithmeticae (rond het jaar 100).

De eerste twaalf overvloedige getallen zijn:[1]

${\displaystyle 12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60}$

Het eerste oneven overvloedige getal is ${\displaystyle 945={{3}^{3}}\cdot 5\cdot 7}$ (het is het 232e overvloedige getal).

Een alternatieve definitie is als volgt te geven. Met ${\displaystyle \sigma (n)}$ wordt aangeduid de som van alle positieve delers van ${\displaystyle n}$ (inclusief ${\displaystyle 1}$ en ${\displaystyle n}$). Een getal is in dit geval overvloedig als ${\displaystyle \sigma (n)>2n}$; de waarde van ${\displaystyle \sigma (n)-2n}$ is nu de overvloed van ${\displaystyle n}$.

Enkele eigenschappen

• Er zijn oneindig veel overvloedige getallen.
• Ieder veelvoud van een perfect getal en ieder veelvoud van een overvloedig getal is overvloedig.
• Elk geheel getal groter dan ${\displaystyle 20161}$ kan geschreven worden als de som van twee overvloedige getallen.
• De asymptotische dichtheid (ook wel natuurlijke dichtheid genoemd) van overvloedige getallen ligt tussen 0,2474 en 0,2480 (Marc Deléglise, 1997).[2][3]

Een overvloedig getal dat geen semiperfect getal is, is een vreemd getal.

Zie ook

• Gebrekkig getal
• Bijna perfect getal
• Perfect getal

Noten

1. (en) Rij: A005101. Op: On-line Encyclopedia of Integer Sequences.
2. M. Deléglise (1997): Bounds for the Density of Abundant Integers. In: Journal of Experimental Mathematics, vol. 7, nr. 2 (1998); pp. 137-143.
3. (en) Abundant Number Op: MathWorld--A Wolfram Web Resource.