ヴァイルの定理 (幾何学)

三角形、四角形、六角形におけるヴァイルの定理

幾何学において、ヴァイルの定理（ヴァイルのていり、英:Weill's theorem）とは、多角形の外接円と内接円に関する定理である[1][2][3]。ジョゼフ・リウヴィルの雑誌『Journal de Mathématiques Pures et Appliquées』で1878年、ヴァイル（Weill）が証明した[4][5][註 1]。書籍によっては、ワイルの定理、ウェイルの定理とも書かれている[6][7][8]。

定理

nを3以上の整数とする。ポンスレの閉形定理によれば、ある2円を外接円、内接円とするn角形が一つあれば、そのようなn角形は無数に存在する[9]。このとき、n角形の辺と内接円の接点が成す多角形の幾何中心は一定である。これをヴァイルの定理と言う。また、その点はヴァイル点（Weill point）と呼ばれる。

1888年、ジョン・ケイシーはn個の接点のうちm個（mは、n≧m>0を満たす整数）の点の幾何中心の軌跡は定円であることを発見した[2]。ヴァイル点はn=mの場合である。

三角形のヴァイル点

三角形のヴァイル点は、接触三角形の重心として定義される（三角形の重心は幾何中心と一致する）[10]。Encyclopedia of Triangle centersでは三角形の中心としてX(354)に登録されている。ヴァイル点WはOI線上に存在し、ヴァイル点と外心は、内心を

${\displaystyle WI:IO=r:3R=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c):6abc}$

に内分する。ここでr,Rはそれぞれ内接円、外接円の半径である。ヴァイル点の三線座標は以下の式で与えられる[11]。

${\displaystyle (b-c)^{2}-a(b+c):(c-a)^{2}-b(a+c):(a-b)^{2}-c(a+b)}$

三角形のヴァイル点はアダムス円と3辺の6つ交点の幾何中心、コンウェイ円と3辺の6つの交点の幾何中心などと一致する[11]。

脚注

出典

1. M'Clelland, William J. (1891). A treatise on the geometry of the circle and some extensions to conic sections by the method of reciprocation, with numerous examples. University of California Libraries. London, New York, Macmillan. http://archive.org/details/treatgeometrycir00mcclrich 
2. ^ Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.. http://archive.org/details/sequeltofirstsix00caserich 
3. Gallatly, William (1910). The modern geometry of the triangle. Cornell University Library. London, F. Hodgson. http://archive.org/details/cu31924001522782 
4. Weill (1878). “Sur les polygones inscrits et circonscrits à la fois à deux cercles” (フランス語). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4: 265–304. ISSN 1776-3371. http://www.numdam.org/item/JMPA_1878_3_4__265_0/. 
5. Liouville, Joseph; Centre national de la recherche scientifique (France) (1836). Journal de mathématiques pures et appliquées. Mathematical Sciences - University of Toronto. Paris Gauthier-Villars [etc.]. https://archive.org/details/s3journaldemat04liou/mode/2up 
6. ジョン・ケージー 著、山下安太郎, 高橋三蔵 訳『幾何学続編』有朋堂、1909年、215,24頁。doi:10.11501/828521。 
7. Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 訳『初等幾何学 第1巻 平面之部,Traité de géométrie. 7. éd』山海堂書店、1913年、507頁。doi:10.11501/930885。https://archive.org/details/traitdegomtriel02combgoog。 
8. 『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、76頁。doi:10.11501/1211458。 
9. "Poncelect's Porism", in MathWorld,
10. "Weill point", in MathWorld.
11. ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(354) = WEILL POINT”. Encyclopedia of Triangle Centers. 2024年5月14日閲覧。

注釈

1. 雑誌が仏語で投稿されていることから、本来の読みは仏語読みのヴェイユでないかと思われる。実際、同様人物であろうマッケイ-ヴェイユの定理のWeillは、ウェイユと訳されている。

関連項目

• 双心多角形
• 三角形の内接円と傍接円

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Weill's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Weill point". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism". mathworld.wolfram.com (英語).