アンドリュー・ワイルズ ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明 （ワイルズによるフェルマーのさいしゅうていりのしょうめい）は、イギリス の数学者 であるアンドリュー・ワイルズ によってなされた、楕円曲線 に関するモジュラリティ定理 の特殊な場合の数学的証明 である。リベットの定理 と組み合わせることでフェルマーの最終定理 の証明を与える。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理（谷山・志村予想）はともに、当時の知識で証明することは現実的にほぼ不可能であると同時代の数学者の多くは考えていた。
ワイルズは1993年 6月23日、「モジュラー形式、楕円曲線およびガロア表現（Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations.）[ 1] ケンブリッジ大学 の彼の講演 にて最初に証明を発表した。しかし同年9月、証明に1ヶ所誤りが含まれていることが判明した。1年後の1994年 9月19日、ワイルズは彼自身が「今までの職務においてもっとも重要な瞬間」と呼ぶアイデアを得た。彼はこれに関して「信じられないほど美しく…とてもシンプルでかつエレガント」なアイデアと語っており、これによって証明を数学者のコミュニティ が受容する水準にまで正すことができた。この正しい証明は1995年 に発表された[ 2]
ワイルズの証明は代数幾何学 ・数論 のテクニックを多用しており、これらの数学分野から派生した成果を多く含んでいる。また、彼の証明はスキーム の圏 や岩澤理論 などの、フェルマーが知りえなかった20世紀 以降のテクニックを含む現代代数幾何学 の一般的な構成を使用している。
証明を含む2本の論文は129ページの長さで[ 3] [ 4] ジョン・コーツ は数論の最高の成果の1つであると、またジョン・ホートン・コンウェイ は20世紀を代表する証明であると述べた[ 5] 戦略 は、楕円曲線の「半安定 」と呼ばれる特殊な場合についてモジュラリティ定理を証明することであり、強力な保形性持ち上げ定理 というテクニックを確立し、他の数々の問題に対しても全く新しいアプローチ の道を開いた。フェルマーの最終定理の解決に対して、ワイルズはナイト の称号を与えられたほか、2016年のアーベル賞 等の名誉が与えられた。ワイルズがアーベル賞を受賞することが発表されたとき、ノルウェー科学文学アカデミー （英語版 ） [ 2]
1637年に書き表されたフェルマーの予想は、n > 2自然数 n
a
n
+
b
n
=
c
n
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}
を満たす自然数 a , b , c
フェルマーが予想を書き残してからワイルズの最終的解決まで350年以上の間、多数の数学者・アマチュア が定理を証明しようと試みた。特定の指数 の場合、およそ400万までの n コンピューター によって確認された。
しかし、n > 2
1950-60年代、志村五郎 は谷山豊 から着想を得て、楕円曲線とモジュラー形式 が互いにつながりを持っているのではないかと示唆した。これは後に「すべての有理数 体上に定義された楕円曲線はモジュラー であろう」という予想 として定式化され、谷山・志村予想 として知られるようになった。西洋 においてはこの予想がアンドレ・ヴェイユ の1967年 の論文によって広まったため、しばしば谷山・志村・ヴェイユ予想と呼ばれている。
この予想は、当時全く異なるものと一般には考えられていた最先端の数学的概念が、実際は同じもので見方が異なるだけであるということを述べており、真ならば理論的に素晴らしく首尾一貫したものであった。1980年頃までには多くのエビデンス によって広く真 であると考えられるようになったが、証明あるいはそれに至るアプローチの発見は絶望視されていた（後述）。
1960年代後半、イヴ・エルゴーシュ （フランス語版 ） a , b , c [ 6] x , y ) 座標平面 上のすべての点によって作られる曲線であった。
y
2
=
x
(
x
−
a
n
)
(
x
+
b
n
)
{\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n})}
1982-1985年、ゲルハルト・フライ はこの楕円曲線の特殊な性質に着目し、フェルマー方程式を満たす自然数 a , b , c
Δ
=
1
256
(
a
b
c
)
2
n
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2n}}
となり、このような楕円曲線はモジュラーたりえないだろうと予想した。これは「すべての楕円曲線はモジュラーである」とする谷村・志村予想と矛盾する。したがって、谷山・志村予想を証明・反証 した場合はフェルマーの最終定理もまた同時に証明・反証されることになる[ 7] フライ曲線 （英語版 ）
1985年、フライの予想はジャン・ピエール・セール によって定式化され、フライ曲線がモジュラーではないことが部分的に証明された。セールの主な関心はある種のガロア表現 のモジュラー性に関する予想（セール予想 ）にあり、彼は完全な証明を与えなかったので、欠けていた部分はイプシロン予想（ε-予想）と呼ばれた。
セールの証明は完璧ではなかったものの、半安定状態の楕円曲線とフェルマーの最終定理のつながりをほぼ確実なものとするに至った。
1986年夏、ケン・リベット はイプシロン予想を証明することに成功した。論文は1990年に発表され、リベットの定理 として知られるようになった。リベットはこの証明により、フライが示唆したフェルマーの最終定理とフライ曲線との関係性をも証明した。つまり、半安定楕円曲線に対して谷山・志村予想を証明すれば、リベットの定理と組み合わせることで、フェルマーの最終定理を証明できることが確定したのだった。
数学的に表現すれば、リベットの定理は楕円曲線に関連付けられたガロア表現が（フライ曲線が持つ）ある種の性質 を持つならば、その楕円曲線はモジュラーでないことを示し、そのガロア表現を生じさせるようなモジュラー形式 もまた存在しないことを示した[ 8]
しかしながら、このようなセールとリベットによる研究の進展とは裏腹に、谷山・志村予想によるフェルマーの最終定理へのアプローチは現実的には適用できないと広く考えられていた。これは谷山・志村予想が当時知られていた知識だけでは全く証明できそうにないと見られていたためである[ 9] :203–205, 223, 226 。例えば、ワイルズのかつての指導者であるジョン・コーツは「（谷山・志村予想は）全く証明できそうにない」[ 9] :226 と述べたし、ケン・リベット自身も「証明ができないだろうと考えていた大勢のうちの１人」だと言っていた[ 9] :223 。
リベットのイプシロン予想の証明を聞き、楕円曲線を研究していたイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、谷山・志村予想の証明を秘密裏に進めることを決心した。これはワイルズの専門分野と、子供のころから魅了されていたフェルマーの最終定理に関わりがあることが判明した[ 10]
リベットは後に「ワイルズはおそらくこの地球上で（あの難問に）実際に挑戦して証明できるだなんて夢見るような向こう見ずさを持つ数少ない者のひとりだった」と述べている。[ 9] :223 。
1993年の6月21日-23日の間で、ワイルズは半安定楕円曲線に関する谷山・志村予想の証明、すなわちフェルマーの最終定理の証明を発表した。この発表はケンブリッジ のアイザック・ニュートン数学研究所 （英語版 ） [ 1] [ 11]
発表の後、ニック・カッツ がワイルズの論文の査読 を行うレフェリーの一人として指名された。カッツはレビューにおいて、ワイルズに証明に関する様々な質問をしたが、そのうちにワイルズ自身も認めるギャップが証明に含まれることがわかった。証明の重要な箇所（ある種の群の位数に上限を与える部分）の誤りであり、コリヴァキアン＝フラッハ法を拡張するのに使用したオイラー系 （英語版 ）
ただし、この誤りによってワイルズの仕事が全く役に立たないものになったわけではなかった。ワイルズの証明のそれぞれの部分は単体でも意義深く革新的なものであり、証明の過程で多くの発展や新たなテクニックが見出されていたためである。この誤りに影響されたのは一箇所のみであった[ 9] :289, 296–297 。しかしながら、この一箇所が（誤りによって）証明されないのであれば、フェルマーの最終定理の証明も成されない。
ワイルズはギャップを取り除くのにほとんど1年を費やした。当初は自身で訂正を試みたが、のちにかつての指導学生であるリチャード・テイラー の協力を仰ぐこととなった。1993年の終わりまでに、厳しい視線が注がれるなかでワイルズの証明が失敗したという噂が広がったが、どの程度深刻なのかに関しては知られていなかった。数学者はワイルズに彼の仕事が完全なのかそうでないのかに関わらず彼の証明を公開させるようにプレッシャーをかけ始めた。そうすることでより広い数学者のコミュニティがワイルズの仕事を精査し、利用することができるからである。しかし、誤りが訂正されるどころか、当初はそれほど深刻でないように思われたギャップは実は非常に重要で、取り除くのは容易でないように思われた[ 12]
ワイルズによれば、1994年9月19日の朝、彼はほとんど誤りの訂正を諦める寸前で、証明に失敗したことを認める瀬戸際におり、他の数学者が証明を発展させ、誤りを探すことができるように証明の詳細を発表しようとしていた。彼は証明がなぜ不完全だったのかを理解するための最後の確認をしていたが、不意に、コリヴァキアン＝フラッハ法 の適用の際に問題となっている部分そのものが（コリヴァキアン＝フラッハ法のアプローチ から得た経験を援用することで）岩澤理論 の適用を可能にすることに気がついた。それぞれのアプローチは単体では不適切だが、両者のアプローチを組み合わせ、双方のアプローチのツールを使用することでギャップを取り除き、（ワイルズが最初に出した論文では証明が与えられていなかった）すべての場合に有効な類数公式 (Class Number Formula, CNF)を与えた。[ 13]
"私はデスクに座ってコリヴァキアン＝フラッハ法の確認をしていました。これは私が誤りを訂正できると考えていたからではなく、少なくともなぜこのアプローチが失敗したのか、その理由を説明できるようにしておきたいと考えたからです。すると、突然すばらしいひらめきが頭に浮かびました。コリヴァキアン＝フラッハ法のアプローチは駄目でしたが、そうなっている理由がまさに3年前の岩澤理論のアプローチを適用するのに必要なものだったのです。コリヴァキアン＝フラッハ法のアプローチの灰から問題に対する真の解答が得られたようでした。それは信じられないほど美しく、シンプルでエレガントでした。なぜそんなことを私が見逃していたのかわかりませんが、その箇所を半信半疑で20分見つめました。それからその日は一日中、部屋の周りを歩き回り、そしてデスクに戻ってその箇所がまだそこにあることを確認するということを繰り返しました。それはそこにありました。私は気持ちを抑えることができませんでした。とても興奮していました。私の仕事のうちで、最も重要な瞬間でした。今後、あれほどのことが起こることはないでしょう。"
— アンドリュー・ワイルズ。サイモン・シンによる引用。[ 14] 1994年10月6日に、ワイルズは3人の同僚（ゲルト・ファルティングス を含む）に彼の新しい証明を査読するように頼んだ[ 15] [ 16] Annals of Mathematics
Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations（モジュラー形式、楕円曲線およびガロア表現）[ 3]
Ring theoretic properties of certain Hecke algebras（ある種のヘッケ代数の環論的性質）[ 4] 後者がワイルズとテイラーの共著で、主論文で訂正が必要だった箇所を修正し、必要な条件が満たされていることを証明したものである。この新しい証明は広く検査され、主な部分に関して正しいものであると受け入れられた[ 5] [ 8] [ 10]
フェルマーは、彼の最終定理の書き込みに際して「真に驚くべき証明を見つけたが、それを書くにはこの余白は小さすぎる」[ 17] [ 18] [ 1] [ 19] カンファレンス がボストン大学 で開かれたほどである。このカンファレンスの議事録をもとに出版された書籍は、数論の大学院生を対象として、証明を理解するために必要な前提となる全範囲のトピックを説明することを目的としていた[ 20]
ワイルズは谷山・志村予想を楕円曲線の半安定な場合についてのみ証明したので、すべての楕円曲線に関して予想が証明されたわけではなかった。ワイルズの証明から数年後、クリストフ・ブルイユ 、ブライアン・コンラッド 、フレッド・ダイアモンド 、リチャード・テイラー （しばしば「BCDT」と略される）の4人がこの仕事を発展させ、2001年 の論文でより一般的なすべての場合について谷山・志村予想を証明した[ 21]
2005年にオランダの計算機科学者 Jan Bergstra はワイルズの証明をコンピューターで真偽の判定をできるような形にする場合の問題点を発表した[ 22]
ワイルズは半安定楕円曲線に関してモジュラリティ定理を証明し、そこからフェルマーの最終定理が背理法 で導かれることを明らかにした。
証明は大きく2つの部分に分かれる。まずワイルズは「保型性持ち上げ定理（英 : modularity lifting theorem ）」 として知られるリフト （英語版 ）
証明の概要
コメント
第1部：証明の準備
1
フェルマーの最終定理が偽である、すなわちa n b n c n a , b , c , n n > 2n
合成数は素数の積で表すことができるので、n
2
a , b , c , n E リベットの定理によると、半安定楕円曲線 E
半安定楕円曲線が全てモジュラーになること（谷山-志村予想）が証明できれば、矛盾が生じ背理法により当初の仮定（a , b , c , n
第2部：保型性持ち上げ定理
3
任意の素数 p > 3ρ ( E , p )ワイルズはまず、これらの表現について「半安定楕円曲線 E ρ ( E , p )E
この定理には二つの利点がある。まず、数え方やマッチングが簡単になる点。そして、この素数 p
この証明はこの問題の最も難しい部分で、より厳密には「ガロア表現 ρ ( E , p )ρ ( E , p ∞ )p [ 2] 持ち上げ （英語版 ） 変形 （英語版 ）
楕円曲線（または楕円曲線の表現）は、可約または既約 のいずれかに分類できる。楕円曲線の表現が可約かどうかで、証明の仕方が少し違ってくる。
楕円曲線とモジュラー形式を直接比較することは難しく、過去に楕円曲線とモジュラー形式を数え上げ、マッチングさせる試みはすべて失敗している。しかし、楕円曲線はガロア理論 における表現 が可能である。ワイルズは、楕円曲線そのものではなく、それら表現を使って作業すれば、楕円曲線の数え上げとモジュラー形式とのマッチングがはるかに容易になることに気づいた。これ以降、証明は主に以下のことを目指す。
半安定楕円曲線の幾何学 的ガロア表現がモジュラー形式ならば、曲線自体もモジュラー形式である。
全ての半安定楕円曲線の幾何学的ガロア表現はモジュラーである。 これらの証明により（楕円曲線そのものを直接扱う代わりにそれらの表現を扱えるようになるので）目指す目標は、半安定楕円曲線の幾何学的ガロア表現のモジュラリティを証明することへと変わる。ワイルズはこの実現を "key breakthrough" と表現している。
楕円曲線のガロア表現は G → GL(Z p 正規化固有形式 （英語版 ） 固有値 （そのフーリエ級数 の係数でもある）が有限個の素数を除くすべての素数に対して合同関係 を満たすものを見つける必要がある。
4
ワイルズの最初の戦略は、帰納法 と類数公式 を用いた数え上げとマッチングである。
ワイルズはこの分野で、最初は horizontal Iwasawa theory で、後にはコリヴァギン・フラッハ法の拡張で困難に直面することになった。ワイルズのコリヴァギン・フラッハ法の拡張は、主に、彼が使う完全な類数公式を証明するためにコリヴァギン・フラッハ法を十分に強くすることに関連していた。その後、どちらのアプローチも単独では半安定楕円曲線の全種類をカバーできる類数公式を生成できないことが判明し、1995 年の彼の証明の最後のピースは、コリヴァギン・フラッハ法の技術で岩澤理論を強化すれば成功することを理解したことだった。
6
この時点で、ガロア表現に関する重要なポイントが証明されたことになる。
半安定楕円曲線 E ρ (E , p )p > 2E これがワイルズの保型性持ち上げ定理であり、当時としては画期的な大成果であった。
これの嬉しい所は、自由に素数 p > 2> 2 について言えたことになる所である。
これにより一つの素数 p p
証明は全ての半安定楕円曲線 E p
第3部：全ての半安定楕円曲線がモジュラーであることの証明
7
保型性持ち上げ定理が証明されたので、元の問題に戻ろう。半安定楕円曲線をガロア表現の可約性に基づいて分類し、その結果に保型性持ち上げ定理を適用する。
既に述べたように、表現にはどの素数を用いてもよいので、今回は最も簡単になる素数を選ぶことにする。3 は（2 より大きい）最小の素数であり、ρ (E , 3)
ワイルズは、表現 ρ (E , 3)p = 3ρ (E , 3)p = 5
この証明のように p = 3p = 5p = 3p = 5セールの保型性予想 （英語版 ）
8
まず ρ (E , 3)この場合 ρ (E , 3)E
1980 年代初頭にラングランズとタネルが 2 つの論文で証明している。この証明は ρ (E , 3)4次方程式 と同じ対称群 を持っていることに基づいており、当時モジュラーであることが知られていた数少ない一般クラスのディオファントス方程式 の一つであった。
この p = 3p = 3
9
次に ρ (E , 3)ワイルズは ρ (E , 3)ρ (E , 5)
既約でないので保型性持ち上げ定理は適用できない。そこで今度は一つ大きい素数 p = 5ρ (E , 5)五次方程式 が冪根によって解けないのと同じ理由である。そこでワイルズは上手い方法を見つける必要があった。
9.1
ρ (E , 3)ρ (E , 5)ρ (E , 5)
9.2
最後のケースは ρ (E , 3)ρ (E , 5)この場合、ρ (F , 3)ρ (E , 5)ρ (F , 5)同型 表現である別の半可換楕円曲線 F
ρ (F , 3)F F ρ (F , 5)すると、p = 5E F ρ (E , 5)
9.3
従って、ρ (E , 3)ρ (E , 5)
このステップでは、保型性持ち上げ定理の真価が発揮される。
結論
10
これで ρ (E , 3)E これは次のことを証明している。
半安定楕円曲線に対する谷山-志村予想。
背理法よりフライ曲線は存在せず、フェルマーの最終定理は真である。
もしフェルマーの最終定理が偽ならば、モジュラーであり（ワイルズによる結果）かつモジュラーでない（リベットの定理）半安定楕円曲線を作れることを証明したので、背理法により真であることが証明された。両方にはなりえないので、そのような曲線は存在しないというのが唯一の答えである。
ワイルズは楕円曲線をモジュラー形式の可算 集合にマッチングさせることを試みた。彼はこの直接的なアプローチがうまくいかないことを発見し、代わりに楕円曲線のガロア表現 をモジュラー形式にマッチングさせることで問題を変換した。ワイルズはこのマッチング（または写像）を、より具体的には環準同型 と表現している。
R
n
→
T
n
.
{\displaystyle R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}.}
R
{\displaystyle R}
T
{\displaystyle \mathbf {T} }
Hecke ring （局所的にコンパクトな群のヘッケ代数）である。
ワイルズは多くの場合、この環の準同型 が環の同型 になりうるという洞察を得た（1995年の論文の第2章§3の予想2.16[ 3]
R
{\displaystyle R}
T
{\displaystyle \mathbf {T} }
アーベル群 が有限で同じ濃度 を持っている場合にのみ同型性であることに気がついた。これは「数的基準」と呼ばれることもある。この結果、フェルマーの最終定理は、2つの群が同じ位数を持つという記述に還元される。この証明の文章の多くは、環論 や並べ換え理論 に関連する話題や定理へとつながっている。Wilesの目標は、写像
R
→
T
{\displaystyle R\to \mathbf {T} }
R
=
T
{\displaystyle R=\mathbf {T} }
平坦 の変形ケースは証明に手間がかかり、同巻の別論文「あるヘッケ代数の環論的性質」で扱われている。
ゲルト・ファルティングス は、その会報で次の可換図式 を与えている(p. 745)。
あるいは究極的には
R
=
T
{\displaystyle R=\mathbf {T} }
完全交差 であることが示される。ワイルズは
R
=
T
{\displaystyle R=\mathbf {T} }
Z
3
,
F
3
{\displaystyle \mathbf {Z} _{3},\mathbf {F} _{3}}
T
/
m
{\displaystyle \mathbf {T} /{\mathfrak {m}}}
lifts でそれを実現した。
このマッチングを行うために、ワイルズは類数公式 （CNF）を作成する必要があった。当初、水平方向の岩澤理論 を使おうとしたが、その部分には未解決の問題があり、CNFを作成することはできなかった。1991年の夏の終わりに、ヴィクター・コリヴァギン とマティアス・フラッハ （英語版 ） オイラー系 について知り、ワイルズは彼の証明が必要とするCNFを作成するために、岩澤研究を置いて、Kolyvaginとフラッハの仕事を拡張し始めることにした。 [ 23] ニック・カッツ に、研究に微妙な間違いがないか見直すのを手伝ってくれよう依頼した。当時の彼らの結論は、ワイルズが使った技法は正しく機能しているようだというものだった。[ 9] :261-265 [ 24]
コリヴァギン–フラッハ法の使用は、後に元の証明提出における失敗のポイントであることが判明し、結局彼は岩沢理論とリチャード・テイラーとの共同作業に戻して修正しなければならなくなった。1993年5月、Mazurの論文を読んでいたWilesは、3/5スイッチで最後の問題が解決し、その後すべての楕円曲線をカバーできることを洞察した。
有理数の体Q 上の楕円曲線 E が与えられたとき、すべての素数乗
ℓ
n
{\displaystyle \ell ^{n}}
絶対ガロア群
Gal
(
Q
¯
/
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}
から
GL
2
(
Z
/
l
n
Z
)
,
{\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /l^{n}\mathbf {Z} ),}
の 準同型 が存在する。
は、
ℓ
n
{\displaystyle \ell ^{n}}
invertible 群である。
これは
E
(
Q
¯
)
{\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}
Q
¯
{\displaystyle {\bar {\mathbf {Q} }}}
E の点は アーベル群 をなし、その上には
Gal
(
Q
¯
/
Q
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}
ℓ
n
x
=
0
{\displaystyle \ell ^{n}x=0}
(
Z
/
ℓ
n
Z
)
2
{\displaystyle (\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} )^{2}}
automorphism は既に説明したタイプの行列である。
これはアイヒラーや志村にさかのぼる。 ガロア群は、まずモジュラー形式が定義されたモジュラー曲線に作用し、次にその曲線のヤコビアン・バラエティ に作用し、最後にそのヤコビアンの
ℓ
n
{\displaystyle \ell ^{n}}
Hecke operator が2次元の部分を切り出している。 これらの表現がある楕円曲線に由来することを証明するのは簡単だが、その逆を証明するのは難しい。
楕円曲線から直接モジュラー形式へ行こうとするのではなく、あるℓ とn に対して
(
m
o
d
,
ℓ
n
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} ,\ell ^{n})}
ℓ = 3n = 1Langlands-Tunnell theorem の結果、 Q 上の任意の楕円曲線の
(
m
o
d
,
3
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} ,3)}
ℓ = 3n に対してこれが正しいこと、つまりすべての n に対して有効な単一のモジュラー形式が存在することを n の帰納法を用いて示すことである。 そのためには、
(
m
o
d
ℓ
n
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} \,\ell ^{n})}
lift できる方法の数を比較する、計数論的な議論を用いる。\のGalois表現を
(
m
o
d
ℓ
n
+
1
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} \,\ell ^{n+1})}
(
m
o
d
ℓ
n
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} \,\ell ^{n})}
重要な点は、ガロア表現に十分な条件を課すことである。さもなければ、リフトが多すぎて、ほとんどがモジュラー形式にはならない。 この条件は、モジュラー形式から来る表現と楕円曲線から来る表現で満たされる必要がある。
この場合、最後のトリックがある。これはその後のSerre予想 (整数論) の研究でより一般的に研究されるようになった。これは
(
m
o
d
,
3
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} ,3)}
(
m
o
d
,
5
)
{\displaystyle (\mathrm {mod} ,5)}
E に関連する mod-5 Galois 表現
ρ
¯
E
,
5
{\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}
ρ
¯
E
′
,
5
{\displaystyle {\overline {\rho }}_{E',5}}
ρ
¯
E
,
5
{\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}
ρ
¯
E
,
3
{\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,3}}
E' である。[ 25]
Wilesの証明の構成は以下の通り。
1995年に発表された108ページの論文で、ワイルズは主題を以下の章に分割している（ここではページ番号で先行）。
はじめに
443
第1章
455 1.ガロア表現 の変形
472 2.コホモロジー群 のいくつかの計算
475 3.GL2 (k)の部分群に関するいくつかの結果
第2章
479 1.ゴレンシュタイン の性質
489 2.ヘッケ環 間の合同性
503 3.主な予想
第3章
517 セルマー群 の推定値。
第4章
525 1.通常のCM の場合
533 2.ηの計算
第5章
541楕円曲線 への応用
付録
545 ゴレンシュタイン環 と局所的完全交点 について その後、ゲルト・ファルティングス は1995年の証明にいくつかの簡略化を施し、主に幾何学的な構成からより単純な代数的なものに切り替えた。 [ 15] [ 26]
ワイルズの論文は100ページを超えるもので、群論 、代数幾何 、可換環論 、ガロア理論 の専門的な記号や表記がよく使われている。ワイルズの基礎作りに貢献した数学者たちは、しばしば新しい専門的な概念や技術的な専門用語 を生み出している。
紹介されたものの中には、Ribetが1993年に送ったメールもある[ 27] [ 28] [ 22] [ 29] [ 30] [ 31] [ 32] [ 20] [ 11]
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