ヤン＝ミルズ理論

ヤン＝ミルズ理論（ヤン＝ミルズりろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである^[1]。

なお、その少し前にヴォルフガング・パウリ^[2]^[3]と内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。

概要

この理論は元々、ワイルらによって研究が進められていた可換対称性に基づくゲージ理論を、非可換対称性にまで発展させた理論である。非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としてはチャーン＝サイモンズ理論などがある。

この理論は最初、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に着目して構築された模型である^[1]。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも自発的に破れた弱アイソスピンとハイパーチャージのSU(2)×U(1)対称性に受け継がれているといえる（ワインバーグ＝サラム理論）。このように対称性が破れる模型もヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。

現在の典型的なヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学である。また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく大統一理論などがある。超対称性を持つように拡張される場合もあり、超対称ヤン＝ミルズ理論（super Yang-Mills theory、SYM）と呼ばれる。各種超対称性理論の基礎として、また超弦理論との関係などから、現在盛んに研究されている。理論模型としては、ゲージ場だけで物質場を含まない模型は純粋なヤン＝ミルズ理論（pure Yang-Mills theory）と呼ばれる。

また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、カルツァ＝クライン理論や超弦理論がある。

内容

ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群をゲージ対称性に持つゲージ理論である。

パラメータ $\epsilon ^{a}$ で特徴付けられるリー群

$G(\epsilon )=\exp(i\epsilon ^{a}T^{a})$

を考える。ここで、T はリー群の生成子である。群の非可換性を反映して生成子のリー代数は

$[T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}$

となる。f は群の構造定数である。

ゲージ変換

局所化されたパラメータ $\xi ^{a}(x)$ で特徴付けられるゲージ変換の下で、リー群の表現の添え字 i をもつ場 $\phi _{i}(x)$ は

$\phi _{i}(x)\mapsto \phi '_{i}(x)=[G(g\xi (x))]_{ij}\phi _{j}(x)=[\exp(ig\xi ^{a}(x)T^{a})]_{ij}\phi _{j}(x)$

と変換される。パラメータの一次を考えると

$\delta _{\xi }\phi (x)=ig\xi ^{a}(x)T_{ij}^{a}\phi _{j}(x)$

となる。ここで生成子 $T_{ij}^{a}$ は、ゲージ変換の下での場 $\phi _{i}(x)$ の属する表現での行列表現である。ゲージ変換の下での場の変換性を決める生成子の表現はチャージと呼ばれる。

gは理論の結合定数で、ゲージ結合定数と呼ばれる。この理論の大きな特徴として、共変微分やヤン＝ミルズ項に含まれる全ての結合定数が等しい事が挙げられる（結合定数の普遍性）。この普遍性は標準模型においても検証されており、素粒子物理がゲージ理論で記述される事の強い傍証となっている。

共変微分

ヤン＝ミルズ理論において、ラグランジアンに含まれる場の微分 $\partial _{\mu }\phi _{i}(x)$ は共変微分

${\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{i}(x)\equiv \partial _{\mu }\phi _{i}(x)-igA_{\mu }^{a}(x)T_{ij}^{a}\phi _{j}(x)$

へと置き換えられる。ここで $A_{\mu }^{a}(x)$ はゲージ場である。ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で

$\delta _{\xi }A_{\mu }^{a}(x)=gf^{abc}\xi ^{c}(x)A_{\mu }^{b}(x)+\partial _{\mu }\xi ^{a}(x)={\mathcal {D}}_{\mu }\xi ^{a}(x)$

と変換される。従って共変微分は

$\delta _{\xi }{\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{i}(x)=ig\xi ^{a}(x)T_{ij}^{a}{\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{j}(x)$

と変換し、場と同じ変換性をもつ。これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る^[4]。種々の場はゲージ場と共変微分を通してのみ相互作用をする。相互作用の形はゲージ変換の下での変換性で決まり、このような相互作用の形は最小結合（minimal coupling）の理論と呼ばれる。

ヤン＝ミルズ項

ヤン＝ミルズ理論では、ラグランジアンにヤン＝ミルズ項

${\mathcal {L}}_{\mathrm {YM} }\equiv -{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}$

（各添え字について和を取る）を持つ。 F はゲージ場の強度（field-strength）

$F_{\mu \nu }^{a}\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}$

である。非自明な交換関係に伴って、構造定数に関係する項が現れるのが特徴である。

繰り込み群と結合定数

繰り込み群の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。 $n_{f}$ 個のフレーバーを持つゲージ群の表現 $r$ に属するフェルミオンを含むヤン＝ミルズ理論の1ループベータ関数は、

$\beta (g)=-{\frac {g^{3}}{(4\pi )^{2}}}\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {4}{3}}n_{f}C(r)\right)$

となる。ただし、 $C_{2}(G)$ は $f^{acd}f^{bcd}=C_{2}(G)\delta ^{ab}$ によって定義される随伴表現における2次のカシミア演算子、 $C(r)$ は表現 $r$ における生成子の行列表現の規格化定数 $\mathrm {Tr} (T^{a}(r)T^{b}(r))=C(r)\delta ^{ab}$ である。

量子色力学においては、 $C_{2}(G)=3$ で、 $C(r)=1/2$ である。これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン＝ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる(漸近的自由性)、と読むことが出来る。

脚注

^ ^a ^b Yang and Mills (1954)
^ Straumann, N: "On Pauli's invention of non-Abelian Kaluza-Klein Theory in 1953" e-print arXiv.gr=qc/0012054
^ See Abraham Pais' account of this period as well as L. Susskind's "Superstrings, Physics World on the first non-Abelian gauge theory" where Susskind wrote that Yang-Mills was "rediscovered" only because Pauli had chosen not to publish
^ 微分とはその定義

$f^{\prime }=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

からも分かる通り、本質的に空間上の二点の値に依存する。従って、各点ごとに独立なゲージパラメタを持つ局所ゲージ変換の上で不変な項を作る事は、通常の微分からでは不可能である。その変化分を相殺するために、共変微分及びゲージ場が必要とされる。つまり、局所ゲージ不変性を要請する事と、ゲージ場の存在を要請する事とは同じ事である。field-strengthは、ゲージ場だけから作られるゲージ共変なテンソルとして一意に定まる。微分幾何学の言葉では、ゲージ場は接続、ゲージ場の強度は曲率となる。

参考文献

論文

C. -N. Yang and R. L. Mills (1954). “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance”. Phys. Rev. 96: 191. doi:10.1103/PhysRev.96.191.

書籍

内山龍雄『一般ゲージ場論序説』岩波書店、1987年。ISBN 4-00-005040-0。
佐藤勝彦『アインシュタインが考えた宇宙』実業之日本社、2005年
川合光『はじめての超ひも理論』講談社現代新書、2005年
Michael E. Peskin; Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 0201503972
Barton Zwiebach (2004). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521831437