In fisica , in particolare in elettromagnetismo , il tensore elettromagnetico , anche detto tensore del campo elettromagnetico , tensore dello sforzo del campo , tensore di Faraday o bivettore di Maxwell , è un tensore che descrive il campo elettromagnetico .
Il tensore di campo fu usato per la prima volta da Hermann Minkowski , e consente di scrivere le leggi fisiche in maniera molto concisa e generale.
Definizione
Il tensore elettromagnetico
F
α α -->
β β -->
{\displaystyle F_{\alpha \beta }}
è definito come:[ 1]
F
α α -->
β β -->
=
d
e
f
∂ ∂ -->
A
β β -->
∂ ∂ -->
x
α α -->
− − -->
∂ ∂ -->
A
α α -->
∂ ∂ -->
x
β β -->
=
d
e
f
∂ ∂ -->
α α -->
A
β β -->
− − -->
∂ ∂ -->
β β -->
A
α α -->
{\displaystyle F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}
dove
A
α α -->
{\displaystyle A_{\alpha }}
è il potenziale quadrivettoriale :
A
α α -->
=
(
ϕ ϕ -->
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}
in cui
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
è il potenziale magnetico , un potenziale vettore , e
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
è il potenziale elettrico , un potenziale scalare . La forma del tensore esprime il fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico sono definiti a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[ 2]
E
=
− − -->
∂ ∂ -->
A
∂ ∂ -->
t
− − -->
∇ ∇ -->
ϕ ϕ -->
B
=
∇ ∇ -->
× × -->
A
{\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \phi \qquad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }
Ad esempio, le componenti
x
{\displaystyle x}
sono:
E
x
=
− − -->
∂ ∂ -->
A
x
∂ ∂ -->
t
− − -->
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
∂ ∂ -->
x
B
x
=
∂ ∂ -->
A
z
∂ ∂ -->
y
− − -->
∂ ∂ -->
A
y
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle E_{x}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\qquad B_{x}={\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}}
che si possono riscrivere (ricordando che abbassando gli indici del tensore A tramite la metrica di Minkowski cambiamo segno alla componente temporale) come:
E
1
=
c
(
∂ ∂ -->
0
A
1
− − -->
∂ ∂ -->
1
A
0
)
B
1
=
∂ ∂ -->
2
A
3
− − -->
∂ ∂ -->
3
A
2
{\displaystyle E_{1}=c\left(\partial _{0}A_{1}-\partial _{1}A_{0}\right)\qquad B_{1}=\partial _{2}A_{3}-\partial _{3}A_{2}}
Il tensore elettromagnetico può quindi essere definito anche come la derivata esterna della forma 1-differenziale
A
μ μ -->
{\displaystyle A_{\mu }}
:
F
μ μ -->
ν ν -->
=
d
e
f
d
A
μ μ -->
{\displaystyle F_{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ dA_{\mu }}
Dal momento che il tensore elettromagnetico è una forma 2-differenziale sullo spaziotempo, in un sistema di riferimento inerziale la matrice che lo rappresenta è:[ 3]
F
μ μ -->
ν ν -->
=
[
0
− − -->
E
x
/
c
− − -->
E
y
/
c
− − -->
E
z
/
c
E
x
/
c
0
− − -->
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
− − -->
B
x
E
z
/
c
− − -->
B
y
B
x
0
]
=
(
E
c
,
B
)
{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left({\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)}
oppure:
F
μ μ -->
ν ν -->
=
[
0
E
x
/
c
E
y
/
c
E
z
/
c
− − -->
E
x
/
c
0
− − -->
B
z
B
y
− − -->
E
y
/
c
B
z
0
− − -->
B
x
− − -->
E
z
/
c
− − -->
B
y
B
x
0
]
=
(
− − -->
E
c
,
B
)
{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=\left(-{\mathbf {E} \over c},\mathbf {B} \right)}
Dalla forma matriciale del tensore di campo si evince che il tensore elettromagnetico è un tensore antisimmetrico :
F
α α -->
β β -->
=
− − -->
F
β β -->
α α -->
{\displaystyle F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }}
la cui traccia è nulla, e possiede sei componenti indipendenti. Il prodotto interno dei tensori del campo è inoltre un invariante di Lorentz :
F
α α -->
β β -->
F
α α -->
β β -->
=
2
(
B
2
− − -->
E
2
c
2
)
=
i
n
v
a
r
i
a
n
t
e
{\displaystyle F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)=\mathrm {invariante} }
mentre il prodotto del tensore
F
α α -->
β β -->
{\displaystyle F^{\alpha \beta }}
con il suo tensore duale dà un'invariante pseudoscalare :
1
2
ε ε -->
α α -->
β β -->
γ γ -->
δ δ -->
F
α α -->
β β -->
F
γ γ -->
δ δ -->
=
− − -->
4
c
(
B
⋅ ⋅ -->
E
)
=
i
n
v
a
r
i
a
n
t
e
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)=\mathrm {invariante} }
dove
ε ε -->
α α -->
β β -->
γ γ -->
δ δ -->
{\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}
è il tensore unitario completamente antisimmetrico del quart'ordine o tensore di Levi-Civita . Si noti che:
det
(
F
)
=
1
c
2
(
B
⋅ ⋅ -->
E
)
2
{\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}
Derivazione
Si consideri una particella con carica elettrica
e
{\displaystyle e}
e massa
m
{\displaystyle m}
posta in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico . Sia
v
=
r
˙ ˙ -->
{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}} }
la velocità della particella e
p
=
e
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {p} =e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}
la quantità di moto , con
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
il potenziale vettore . La sua energia potenziale e la sua energia cinetica hanno la forma:
U
=
e
ϕ ϕ -->
(
r
,
t
)
− − -->
e
A
(
r
,
t
)
⋅ ⋅ -->
r
˙ ˙ -->
T
=
m
2
r
˙ ˙ -->
⋅ ⋅ -->
r
˙ ˙ -->
{\displaystyle U=e\phi (\mathbf {r} ,t)-e\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} \qquad T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }
dove
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \phi }
è il potenziale elettrico . La lagrangiana
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
permette di descriverne il moto, ed è definita come:[ 4]
L
=
T
− − -->
U
=
m
2
r
˙ ˙ -->
⋅ ⋅ -->
r
˙ ˙ -->
+
e
A
⋅ ⋅ -->
r
˙ ˙ -->
− − -->
e
ϕ ϕ -->
{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-U={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +e\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -e\phi }
ovvero:
L
=
m
2
(
x
˙ ˙ -->
2
+
y
˙ ˙ -->
2
+
z
˙ ˙ -->
2
)
+
e
(
x
˙ ˙ -->
A
x
+
y
˙ ˙ -->
A
y
+
z
˙ ˙ -->
A
z
)
− − -->
e
ϕ ϕ -->
{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+e({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-e\phi }
In notazione relativistica, sfruttando l'intervallo spaziotemporale (scalare)
d
s
=
d
x
i
d
x
i
{\displaystyle ds={\sqrt {dx_{i}dx^{i}}}}
, dove
x
i
{\displaystyle x^{i}}
è la posizione, l'azione
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
è definita come l'integrale della lagrangiana nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:[ 5]
S
=
∫ ∫ -->
t
1
t
2
L
d
t
=
∫ ∫ -->
a
b
(
− − -->
m
c
d
s
− − -->
e
c
A
i
d
x
i
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{a}^{b}\left(-mcds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)}
con
A
i
{\displaystyle A_{i}}
il quadripotenziale . Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle fasi è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso (
δ δ -->
S
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}
), ovvero:[ 6]
δ δ -->
S
=
δ δ -->
∫ ∫ -->
(
− − -->
m
c
d
s
− − -->
e
c
A
i
d
x
i
)
=
− − -->
∫ ∫ -->
a
b
(
m
c
d
x
i
d
δ δ -->
x
i
d
s
+
e
c
A
i
d
δ δ -->
x
i
+
e
c
δ δ -->
A
i
d
x
i
)
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int \left(-mc\,ds-{e \over c}A_{i}dx^{i}\right)=-\int _{a}^{b}\left(mc\,{\frac {dx_{i}d\delta x^{i}}{ds}}+{e \over c}A_{i}d\delta x^{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)=0}
Se si integra per parti si ottiene:
∫ ∫ -->
(
m
c
d
u
i
δ δ -->
x
i
+
e
c
δ δ -->
x
i
d
A
i
+
e
c
δ δ -->
A
i
d
x
i
)
− − -->
(
m
c
u
i
+
e
c
A
i
)
δ δ -->
x
i
|
=
0
{\displaystyle \int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}dA_{i}+{e \over c}\delta A_{i}dx^{i}\right)-\left(mcu_{i}+{e \over c}A_{i}\right)\delta x^{i}|=0}
con
u
i
=
d
x
i
d
s
{\displaystyle u_{i}={dx_{i} \over ds}}
la quadrivelocità . Dato che il secondo termine è nullo e che:
δ δ -->
A
i
=
∂ ∂ -->
A
i
∂ ∂ -->
x
k
δ δ -->
x
k
d
A
i
=
∂ ∂ -->
A
i
∂ ∂ -->
x
k
d
x
k
{\displaystyle \delta A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}\qquad dA_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}}
si ha:
∫ ∫ -->
(
m
c
d
u
i
δ δ -->
x
i
+
e
c
δ δ -->
x
i
∂ ∂ -->
A
i
∂ ∂ -->
x
k
d
x
k
+
e
c
∂ ∂ -->
A
i
∂ ∂ -->
x
k
δ δ -->
x
k
d
x
i
)
=
[
m
c
d
u
i
d
s
− − -->
e
c
(
∂ ∂ -->
A
k
∂ ∂ -->
x
i
− − -->
∂ ∂ -->
A
i
∂ ∂ -->
x
k
)
u
k
]
δ δ -->
x
i
d
s
=
0
{\displaystyle \int \left(mc\,du_{i}\delta x^{i}+{e \over c}\delta x^{i}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}dx^{k}+{e \over c}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\delta x^{k}dx^{i}\right)=\left[mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}\left({\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}\right)u^{k}\right]\delta x^{i}ds=0}
dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che
d
u
i
=
(
d
u
i
/
d
s
)
d
s
{\displaystyle du_{i}=(du_{i}/ds)ds}
e
d
x
i
=
d
u
i
d
s
{\displaystyle dx^{i}=du^{i}ds}
. Ponendo:
F
i
k
≡ ≡ -->
∂ ∂ -->
A
k
∂ ∂ -->
x
i
− − -->
∂ ∂ -->
A
i
∂ ∂ -->
x
k
{\displaystyle F_{ik}\equiv {\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}}}}
si ha:
m
c
d
u
i
d
s
− − -->
e
c
F
i
k
u
k
=
0
{\displaystyle mc{du_{i} \over ds}-{e \over c}F_{ik}u_{k}=0}
che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.[ 7]
In elettrodinamica quantistica la lagrangiana estende quella classica, ed in forma relativistica è data da:
L
=
ψ ψ -->
¯ ¯ -->
(
i
ℏ ℏ -->
c
γ γ -->
α α -->
D
α α -->
− − -->
m
c
2
)
ψ ψ -->
− − -->
1
4
μ μ -->
0
F
α α -->
β β -->
F
α α -->
β β -->
{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }}
incorporando la creazione e l'annichilazione di fotoni (e elettroni).
L'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell possono essere derivati da un principio di azione stazionaria partendo dall'azione:
S
=
∫ ∫ -->
(
− − -->
1
4
μ μ -->
0
F
μ μ -->
ν ν -->
F
μ μ -->
ν ν -->
)
d
4
x
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)\mathrm {d} ^{4}x}
dove
d
4
x
{\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x\;}
è ambientata nello spaziotempo. Questo significa che la densità di lagrangiana è:
L
=
− − -->
1
4
μ μ -->
0
F
μ μ -->
ν ν -->
F
μ μ -->
ν ν -->
=
− − -->
1
4
μ μ -->
0
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
)
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
)
=
− − -->
1
4
μ μ -->
0
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
+
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&=-{\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\end{aligned}}}
Il primo e il quarto termine sono uguali, perché
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
e
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
sono indici muti. Anche i restanti sono uguali, e quindi la lagrangiana è:
L
=
− − -->
1
2
μ μ -->
0
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)}
Usando l'equazione di Eulero-Lagrange per un campo si ha:
∂ ∂ -->
ν ν -->
(
∂ ∂ -->
L
∂ ∂ -->
(
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
)
)
− − -->
∂ ∂ -->
L
∂ ∂ -->
A
μ μ -->
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0}
dove il secondo termine è zero in quanto la lagrangiana non contiene esplicitamente i campi, ma solo le loro derivate. Quindi l'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:
∂ ∂ -->
ν ν -->
(
∂ ∂ -->
μ μ -->
A
ν ν -->
− − -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
A
μ μ -->
)
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=0}
in cui il termine tra le parentesi è il tensore di campo
F
μ μ -->
ν ν -->
{\displaystyle F^{\mu \nu }}
, e quindi:
∂ ∂ -->
ν ν -->
F
μ μ -->
ν ν -->
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=0}
Questa equazione è un altro modo per scrivere le due equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sorgenti nel vuoto, usando le sostituzioni:
E
i
/
c
=
− − -->
F
0
i
ε ε -->
i
j
k
B
k
=
− − -->
F
i
j
{\displaystyle ~E^{i}/c\ \ =-F^{0i}\qquad \varepsilon ^{ijk}B^{k}=-F^{ij}}
dove
i
{\displaystyle i}
and
j
{\displaystyle j}
prendono i valori 1, 2, e 3. In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell non omogenee sono:
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
E
=
ρ ρ -->
ε ε -->
0
∇ ∇ -->
× × -->
B
− − -->
1
c
2
∂ ∂ -->
E
∂ ∂ -->
t
=
μ μ -->
0
J
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }
e si riducono a:[ 8]
∂ ∂ -->
ν ν -->
F
ν ν -->
μ μ -->
=
μ μ -->
0
J
μ μ -->
{\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\mu _{0}J^{\mu }}
dove:
J
ν ν -->
=
(
c
ρ ρ -->
,
J
)
{\displaystyle J^{\nu }=(c\,\rho ,\mathbf {J} )}
è la quadricorrente . Le equazioni omogenee:
∇ ∇ -->
⋅ ⋅ -->
B
=
0
∂ ∂ -->
B
∂ ∂ -->
t
+
∇ ∇ -->
× × -->
E
=
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0\qquad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =0}
si riducono invece a:
∂ ∂ -->
γ γ -->
F
α α -->
β β -->
+
∂ ∂ -->
α α -->
F
β β -->
γ γ -->
+
∂ ∂ -->
β β -->
F
γ γ -->
α α -->
=
0
{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}
Nel momento in cui si passa dalla descrizione del campo in termini delle coordinare rispetto ad un sistema inerziale
K
{\displaystyle K}
alla medesima descrizione rispetto ad un altro sistema inerziale
K
′
{\displaystyle K'}
, il tensore elettromagnetico si trasforma secondo la legge:
F
′
α α -->
β β -->
=
∂ ∂ -->
x
′
α α -->
∂ ∂ -->
x
γ γ -->
∂ ∂ -->
x
′
β β -->
∂ ∂ -->
x
δ δ -->
F
γ γ -->
δ δ -->
{\displaystyle F'^{\alpha \beta }={\frac {\partial x'^{\alpha }}{\partial x^{\gamma }}}{\frac {\partial x'^{\beta }}{\partial x^{\delta }}}F^{\gamma \delta }}
Detta
A
{\displaystyle A}
la matrice di trasformazione della relativa trasformazione di Lorentz, si ha in modo equivalente:
F
′
=
A
F
A
∗ ∗ -->
{\displaystyle F'=AFA^{*}}
dove l'asterisco denota la matrice trasposta .
Le espressioni spaziali dei campi ottenute per una traslazione di
K
′
{\displaystyle K'}
rispetto a
K
{\displaystyle K}
lungo l'asse delle ascisse con velocità
c
β β -->
{\displaystyle c\beta }
sono:
E
1
′
=
E
1
B
1
′
=
B
1
{\displaystyle E_{1}'=E_{1}\qquad B_{1}'=B_{1}}
E
2
′
=
γ γ -->
(
E
2
− − -->
β β -->
B
3
)
B
2
′
=
γ γ -->
(
B
2
+
β β -->
E
3
)
{\displaystyle E_{2}'=\gamma (E_{2}-\beta B_{3})\qquad B_{2}'=\gamma (B_{2}+\beta E_{3})}
E
3
′
=
γ γ -->
(
E
3
+
β β -->
B
2
)
B
3
′
=
γ γ -->
(
B
3
− − -->
β β -->
E
2
)
{\displaystyle E_{3}'=\gamma (E_{3}+\beta B_{2})\qquad B_{3}'=\gamma (B_{3}-\beta E_{2})}
Per una trasformazione di Lorentz generica, si ha:[ 9]
E
′
=
γ γ -->
(
E
+
β β -->
→ → -->
× × -->
B
)
− − -->
γ γ -->
2
γ γ -->
+
1
β β -->
→ → -->
(
β β -->
→ → -->
⋅ ⋅ -->
E
)
{\displaystyle \mathbf {E} '=\gamma (\mathbf {E} +{\vec {\beta }}\times \mathbf {B} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {E} )}
B
′
=
γ γ -->
(
B
− − -->
β β -->
→ → -->
× × -->
E
)
− − -->
γ γ -->
2
γ γ -->
+
1
β β -->
→ → -->
(
β β -->
→ → -->
⋅ ⋅ -->
B
)
{\displaystyle \mathbf {B} '=\gamma (\mathbf {B} -{\vec {\beta }}\times \mathbf {E} )-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot \mathbf {B} )}
Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico siano due manifestazioni dello stesso campo, il campo elettromagnetico. A seconda del sistema di riferimento lo stesso campo si osserva in modo diverso, ed è possibile trovare due sistemi tali per cui in uno di essi il campo è puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservano entrambi. Non esistono tuttavia due sistemi in cui il campo elettromagnetico sia contemporaneamente elettrostatico e magnetostatico rispettivamente.
Note
^ Jackson , p. 556 .
^ Jackson , p. 555 .
^ Landau e Lifšic , p. 90 .
^ Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
^ Landau e Lifšic , p. 69 .
^ Landau e Lifšic , p. 88 .
^ Landau e Lifšic , p. 89 .
^ Jackson , p. 557 .
^ Jackson , p. 558 .
Bibliografia
(EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
Voci correlate