Quadripotenziale

Il quadripotenziale è il potenziale associato al campo elettromagnetico in relatività ristretta: si tratta di una funzione a valori vettoriali che risulta invariante rispetto a delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazioni di Lorentz.

Il quadripotenziale è un vettore a quattro componenti, di cui la prima è il potenziale elettrico e le restanti sono le tre componenti del potenziale vettore magnetico, ed è un campo di gauge, ovvero possiede gradi di libertà ridondanti (da cui segue che differenti campi possono descrivere la stessa situazione fisica). Nel gauge di Lorenz, in particolare, è un quadrivettore,[1] dal momento che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

Definizione

Il quadripotenziale elettromagnetico è definito come:[2]

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$

in cui ${\displaystyle \phi }$ è il potenziale elettrico ed ${\displaystyle \mathbf {A} }$ il potenziale magnetico.

L'unità di misura di ${\displaystyle A^{\alpha }}$ è volt·secondo/metro nel SI, e Maxwell/centimetro nel sistema di Gauss. Il campo elettrico ed il campo magnetico associati al quadripotenziale sono:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$

Al fine di soddisfare le condizioni imposte dalla relatività speciale i campi devono essere scritti in forma tensoriale, in modo che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispettino le trasformazioni di Lorentz.

Il tensore elettromagnetico è definito a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[3]

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

Si tratta di un tensore antisimmetrico la cui traccia è nulla.

Gauge di Lorenz

Nel gauge di Lorenz ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$ in un sistema di riferimento inerziale, l'equazione delle onde per i campi è data da:

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }\qquad \left(\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }\right)}$

dove ${\displaystyle J^{\alpha }}$ sono le componenti della quadricorrente, e:

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$

è l'operatore di d'Alembert.[2] Esplicitamente:

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)}$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} \qquad \left(\Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \right)}$

Le equazioni di Maxwell espresse in termini dei potenziali scalare e vettore assumono di conseguenza la forma:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Per una data distribuzione di carica ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ e corrente ${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)}$ le soluzioni nel SI delle precedenti equazioni sono i potenziali ritardati:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {x} ^{\prime },\tau )}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}}$

dove:

${\displaystyle \tau =t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}{c}}}$

è il tempo ritardato.

Note

1. The Theory of Relativity, by R. K. Pathria, p128
2. Jackson, Pag. 555.
3. Jackson, Pag. 556.

Bibliografia

• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (EN) Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford, Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853952-5.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo elettromagnetico
• Campo magnetico
• Covarianza di Lorentz
• Gauge di Lorenz
• Potenziale vettore magnetico
• Potenziali ritardati
• Quadrivettore
• Quadricorrente
• Spaziotempo di Minkowski
• Teoria del potenziale
• Trasformazione di Lorentz

Altri progetti

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• Wikizionario

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Collegamenti esterni

• Quadripotenziale, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Quadripotenziale, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.