Quadriaccelerazione

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadriaccelerazione di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza l'accelerazione tridimensionale definita nella meccanica classica.

La quadriaccelerazione trova applicazione in aree quali l'annichilazione dell'antiprotone, la risonanza delle particelle strane e la radiazione di una carica accelerata.[1]

Definizione

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio ${\displaystyle \tau }$. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio, e la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

La quadriaccelerazione è definita come la variazione della quadrivelocità rispetto al tempo proprio:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)}$

dove:

${\displaystyle \mathbf {a} ={d\mathbf {u} \over dt}\qquad {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$

con ${\displaystyle \gamma _{u}}$ il fattore di Lorentz per la velocità ${\displaystyle u}$, ed il punto che denota la derivata rispetto alla coordinata temporale. In particolare, in un sistema di riferimento inerziale che si muove con l'oggetto si ha che ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$, ${\displaystyle \gamma _{u}=1}$ e ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{u}=0}$, e pertanto:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right)}$

Da un punto di vista geometrico, la quadriaccelerazione è la curvatura della linea di universo.[2][3]

Le componenti della quadriaccelerazione sono legate a quelle della quadrivelocità attraverso la derivata covariante rispetto al tempo proprio:

${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$

dove il simbolo di Christoffel ${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$ si annulla in coordinate rettangolari.

La quadriaccelerazione è inoltre messa in relazione con la forza dalla relazione:

${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }}$

dove m è la massa a riposo dell'oggetto considerato.

Note

1. Tsamparlis M., Special Relativity, Online, Springer Berlin Heidelberg, 2010, p. 185, ISBN 978-3-642-03837-2.
2. Pauli W., Theory of Relativity, 1981 Dover, B.G. Teubner, Leipzig, 1921, pp. 74, ISBN 978-0-486-64152-2.
3. Synge J.L. e Schild A., Tensor Calculus, 1978 Dover, University of Toronto Press, 1949, pp. 149, 153 and 170, ISBN 0-486-63612-7.

Bibliografia

• Pauli W., Theory of Relativity, 1981 Dover, first published in B.G. Teubner, Leipzig, 1921, ISBN 978-0-486-64152-2.
• Papapetrou A., Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Company, 1974, ISBN 90-277-0514-3.
• Rindler, Wolfgang, Introduction to Special Relativity (2nd), Oxford: Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853952-5.
• Synge J.L. e Schild A., Tensor Calculus, first published in 1978 Dover, University of Toronto Press, 1949, ISBN 0-486-63612-7.

Voci correlate

• Dilatazione del tempo
• Moto iperbolico (relatività)
• Quadrivelocità
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski