Simbolo di Christoffel

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori. Si devono a Elwin Bruno Christoffel.

Definizione

Sia ${\displaystyle M}$ una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante ${\displaystyle \nabla }$. Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di ${\displaystyle M}$ ed un aperto ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Nell'aperto ${\displaystyle A}$ sono definiti i campi di vettori coordinati costanti ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di ${\displaystyle A}$, la derivata covariante del campo ${\displaystyle e_{i}}$ nella ${\displaystyle j}$-esima direzione è una combinazione lineare

${\displaystyle \nabla _{j}e_{i}=\Gamma _{ij}^{1}e_{1}+\dots +\Gamma _{ij}^{n}e_{n}=\Gamma _{ij}^{k}e_{k}.}$

con alcuni coefficienti ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$. Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ è una funzione liscia:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}:A\to \mathbb {R} }$

dipendente da tre parametri ${\displaystyle i,j,k}$. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante ${\displaystyle \nabla }$ nella carta.

Notazione

In alcuni testi è possibile che i simboli di Christoffel siano presentati con una notazione diversa. Una prima possibilità è la seguente[1]:

${\displaystyle \left\{{\sigma \atop \mu \lambda }\right\}=\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\qquad \left\{\mu \lambda ,\sigma \right\}=\Gamma _{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\,.}$

Mentre nel testo originale di Einstein si trova la notazione[2]

${\displaystyle \left\{{\mu \lambda \atop \sigma }\right\}=\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\qquad \left[{\mu \lambda \atop \sigma }\right]=\Gamma _{\sigma ,\mu \lambda }=g_{\sigma \rho }\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\,.}$

Proprietà

Oggetto non tensoriale

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori. Con questa espressione, un po' impropria, si intende dire la seguente cosa: si prendano due carte ${\displaystyle (U,\varphi )}$ e ${\displaystyle (U,{\hat {\varphi }})}$ definite su un aperto comune ${\displaystyle U}$, esse inducono su ${\displaystyle U}$ delle coordinate differenti ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),({\hat {x}}_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{n})}$ che generano rispettivamente dei simboli di Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ e ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}}$. A questo punto si possono ben definire localmente due tensori:

${\displaystyle t=\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}\quad {\text{ e }}\quad {\hat {t}}={\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\hat {x}}^{k}}}\otimes d{\hat {x}}^{i}\otimes d{\hat {x}}^{j}}$.

Se ora le ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ fossero le componenti (nella carta in cui sono calcolate) di un unico campo tensoriale esso dovrebbe coincidere necessariamente sia con ${\displaystyle t}$ che con ${\displaystyle {\hat {t}}}$, quindi la relazione tra i ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ e i ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}}$ dovrebbe essere quella che lega le componenti di un tensore ${\displaystyle (1,2)}$ in due carte diverse. Ma noi abbiamo già una formula per calcolare sia i ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}}$ che i ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ e quindi o trasformano nel modo corretto o non lo fanno. Il computo mostra che non lo fanno, essi sono collegati dalla relazione:

${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}={\frac {\partial x^{p}}{\partial {\hat {x}}^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial {\hat {x}}^{j}}}\,\Gamma _{pq}^{r}\,{\frac {\partial {\hat {x}}^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial {\hat {x}}^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\hat {x}}^{i}\partial {\hat {x}}^{j}}}.}$

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano come le coordinate di un tensore ${\displaystyle (1,2)}$.

Torsione

I simboli di Christoffel non sono tensori. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo ${\displaystyle \Gamma _{ji}^{k}}$ ottenuto scambiando le variabili ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

${\displaystyle T_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}-\Gamma _{ji}^{k}.}$

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-Civita

Fissato un tensore metrico ${\displaystyle g}$ su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left({\frac {\partial g_{lj}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{l}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{il}\left(\partial _{k}g_{lj}+\partial _{j}g_{lk}-\partial _{l}g_{jk}\right)}$

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla). Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la convenzione :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{k}}}=\partial _{k}}$

per le derivate parziali.

Applicazioni

Derivata covariante di un campo tensoriale

La derivata covariante di un campo vettoriale ${\displaystyle v}$ può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

${\displaystyle \nabla _{j}v^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma _{jk}^{i}v^{k}.}$

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

${\displaystyle \nabla _{j}v_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}v_{k}}$

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

${\displaystyle \nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma _{k\ell }^{i}v^{\ell j}+\Gamma _{k\ell }^{j}v^{i\ell }}$

Note

1. Einstein, si veda la nota a pagina 58.
2. Landau, si veda la nota a pagina 314.

Bibliografia

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
• Albert Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 2015, ISBN 978-88-339-2713-8.
• Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšits, Fisica Teorica II, Teoria dei Campi, Editori Riuniti university press, 2010, ISBN 978-88-6473-207-7.

Voci correlate

• Connessione di Levi-Civita
• Derivata covariante
• Tensore di Riemann