Identità di Eulero

La funzione esponenziale e^z può essere definita come il limite di (1 + z/N)^N per N che tende a infinito. Pertanto, e^iπ è il limite di (1 + *iπ/N*)^N. In questa animazione, N assume valori crescenti da 1 a 100. Il calcolo di (1 + *iπ/N*)^N è visualizzato come l'effetto dell'iterazione di N moltiplicazioni nel piano complesso, con l'ultimo puntino che rappresenta il valore effettivo di (1 + *iπ/N*)^N. Si può osservare, all'aumentare di N, il tendere di (1 + *iπ/N*)^N al limite −1.

In matematica, l'identità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è uguale a pi greco.

L'identità

L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

{\textstyle e^{i\pi }+1=0}

dove:

1

e

0

sono gli elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma,

e

è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali,

i

è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è

-1

, e

\pi

è pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

e^{i\pi }=-1.

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

Storia e significato

L'equazione, contrariamente a quanto si legge usualmente, non compare nell'Introductio in analysis infinitorum, il primo trattato sul calcolo infinitesimale di Eulero, pubblicato a Losanna nel 1748. In realtà, non è noto chi per primo abbia scritto esplicitamente la relazione, sebbene la formula di Eulero, oggi pertinente all'analisi complessa, fosse assai nota nel Settecento: i matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre l'avevano dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi.^[1] Tale formula si può scrivere come segue:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

per ogni numero reale $x$ , essendo cos la funzione coseno e sin la funzione seno. L'identità di Eulero può essere ricavata come caso particolare di questa relazione: se infatti $x=\pi$ , allora

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi ,

e poiché

\cos \pi =-1,

e

\sin \pi =0,

segue che

e^{i\pi }=-1.

Percezione dell'identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità."^[2] Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica".^[3] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

Il numero $0$ , l'elemento neutro per l'addizione (per ogni $a$ , $a+0=0+a=a$ ). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
Il numero $1$ , l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni $a$ , $a\times 1=1\times a=a$ ). Vedi 1 (numero).
Il numero $\pi$ è fondamentale nella trigonometria; $\pi$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
Il numero $e$ è una costante fondamentale (detta anche numero di Nepero) connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale $dy/dx=y$ con condizione iniziale $y(0)=1$ è $y=e^{x}$ ).
L'unità immaginaria $i$ (dove $i^{2}=-1$ ) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell'algebra).
La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano $e$ , elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale $\pi$ ), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali ( $e$ ), irrazionali immaginari ( $i\cdot \pi$ ), e interi ( $1$ ).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi $0$ e $1$ sono collegati al campo dei numeri complessi.

Note

^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, 2015, pp. 512-513.
^ Maor, pag. 160. Maor cita Edward Kasner e James Newman, Mathematics and the Imagination, New York: Simon e Schuster (1940), pagg. 103–104
^ Feynman pag. 22-10.

Bibliografia

Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0-691-05854-7
David Stipp, L'equazione di Dio. Eulero e la bellezza della matematica, Codice Edizioni, 2018, ISBN 8875787549.

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Collegamenti esterni

(EN) Proof of Euler's Identity by Julius O. Smith III, su ccrma-www.stanford.edu. URL consultato il 30 agosto 2005 (archiviato dall'url originale il 4 novembre 2005).
(EN) Proof of Euler's Relation by Craig Lewis, su DJTricities.com. URL consultato il 5 giugno 2019 (archiviato dall'url originale il 13 marzo 2009).
(EN) Articolo in Frontiers in Human Neuroscience, su journal.frontiersin.org.
Formula e identità di Eulero Formula e identità di Eulero, potenze e logaritmi complessi. Lezione interattiva.