Funzione vettoriale

Immagine della funzione ${\displaystyle (2\cos(t),4\sin(t),t)}$ nello spazio euclideo tridimensionale

In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali f_i(x), in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell'i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

${\displaystyle \mathbf {f} (x)=\langle f_{1}(x),f_{2}(x)\rangle }$

o, utilizzando la notazione dei versori,

${\displaystyle \mathbf {f} (x)=f_{1}(x)\mathbf {\hat {i}} +f_{2}(x)\mathbf {\hat {j}} }$

in cui f₁ e f₂ sono funzioni ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$.

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

Derivazione di una funzione vettoriale

Se ${\displaystyle \mathbf {f} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$, si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

${\displaystyle \mathbf {f} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {f} (t+h)-\mathbf {f} (t)}{h}},}$.

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè ${\displaystyle \mathbf {f} '(x)=\langle f'_{1}(x),f'_{2}(x),...,f'_{n}(x)\rangle }$.

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di ${\displaystyle \mathbf {f} }$ mediante versori, in quanto la derivata di un versore costante è 0.

Se ${\displaystyle \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, con ${\displaystyle n,m>0}$, allora si hanno ${\displaystyle mn}$ derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle ${\displaystyle n}$ variabili con le ${\displaystyle m}$ funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di ${\displaystyle m}$ righe e ${\displaystyle n}$ colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare y_i.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\cdots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

detta matrice jacobiana di ${\displaystyle \mathbf {f} }$.

Esempi

• La funzione che dato un numero reale restituisce la sua parte intera e la sua parte frazionaria è una funzione vettoriale.
• Un esempio meno banale e di estrema importanza è la parametrizzazione di una curva nel piano, o meglio nello spazio, a valori quindi in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Voci correlate

• Campo vettoriale
• Curva (matematica)
• Derivata
• Funzione di variabile reale
• Funzione differenziabile
• Matrice jacobiana

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione vettoriale, su MathWorld, Wolfram Research.

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