Funzione sublineare

In matematica, in particolare in algebra lineare, una funzione sublineare è una funzione ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbf {F} }$ definita su uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ a valori in campo ordinato ${\displaystyle F}$ che gode della proprietà di omogeneità positiva:

${\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)\qquad \forall \gamma \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall x\in V}$

e subadditività:

${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V}$

In analisi funzionale le funzioni sublineari sono anche dette funzionali di Banach. Difatti, le funzioni sublineari sono funzionali convessi.

Nelle scienze computazionali, una funzione ${\displaystyle f:\mathbb {Z^{+}} \rightarrow \mathbb {R} }$ è detta sublineare se ${\displaystyle f(n)\in o(n)}$. In altri termini, ${\displaystyle f}$ è sublineare se e solo se per ogni ${\displaystyle \,c>0}$ esiste ${\displaystyle \,n_{0}}$ tale che:[1]

${\displaystyle 0\leq f(n)<c\cdot n}$

per ${\displaystyle n\geq n_{0}}$.

Ogni seminorma è una funzione sublineare, mentre non è vero il viceversa in quanto le seminorme possono avere come dominio uno spazio vettoriale su un qualsiasi campo (non necessariamente ordinato) e devono avere ${\displaystyle \mathbb {R} }$ come codominio.

Note

1. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein, 3.1, in Introduction to Algorithms, 2nd edition, MIT Press and McGraw-Hill, 2001 [1990], pp. 47–48, ISBN 0-262-03293-7.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Funzionale di Minkowski
• Funzione omogenea
• Funzione subadditiva
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

• Sublinearity and Support Functions (PDF), su bilder.buecher.de.