Funzione subadditiva

In matematica, una funzione subadditiva è una funzione ${\displaystyle f:A\to B}$, con dominio ${\displaystyle A}$ e codominio ${\displaystyle B}$ chiusi rispetto all'addizione tale che valga la seguente proprietà:

${\displaystyle \forall x,y\in A,\quad f(x+y)\leq f(x)+f(y)\,\!.}$

La definizione può essere data in generale per ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ semigruppi, con l'ipotesi che ${\displaystyle B}$ sia un insieme ordinato.

Un esempio è la funzione radice quadrata, con dominio e codominio i numeri reali non negativi, infatti ${\displaystyle \forall x,y\geq 0}$ vale:

${\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$

Una successione ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},n\geq 1}$ è detta subadditiva se soddisfa la disuguaglianza

${\displaystyle a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}}$

per ogni ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$. L'importanza delle sequenze subadditive è data dal seguente lemma dovuto a Michael Fekete.

Lemma: Per ogni successione subadditiva ${\displaystyle {\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }}$, il limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}$   esiste ed è uguale a   ${\displaystyle \inf {\frac {a_{n}}{n}}\,\!.}$   (Il limite può essere ${\displaystyle -\infty \,\!.}$)

Voci correlate

• Disuguaglianza triangolare