Trasformazione lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

Definizione

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali sullo stesso campo ${\displaystyle K.}$ Una funzione ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:[1][2]

• ${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} ),}$
• ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ),}$

per ogni coppia di vettori ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ in ${\displaystyle V}$ e per ogni scalare ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K.}$ La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente, ${\displaystyle f}$ è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ossia se:

${\displaystyle f(a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {x} _{m})=a_{1}f(\mathbf {x} _{1})+\cdots +a_{m}f(\mathbf {x} _{m}),}$

per ogni intero positivo ${\displaystyle m}$ e ogni scelta dei vettori ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{m}}$ e degli scalari ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}.}$

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è una applicazione lineare e ${\displaystyle \mathbf {0} _{V}}$ e ${\displaystyle \mathbf {0} _{W}}$ sono i vettori nulli di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ rispettivamente, allora:[3]

${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V}+\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V})+f(\mathbf {0} _{V}),}$

e togliendo ${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})}$ da ambo i membri si ottiene

${\displaystyle \mathbf {0} _{W}=f(\mathbf {0} _{V}).}$

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare iniettiva manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.[4]

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.[5] Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.[6]

Esistenza e unicità dell'applicazione lineare

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia ${\displaystyle B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ una base di ${\displaystyle V}$ e siano ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}}$ vettori di ${\displaystyle W.}$ Allora esiste un'unica applicazione lineare da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W}$ tale che:[7]

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i},\quad \forall \ i=1,\ldots ,n.}$

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati ${\displaystyle \{{\mathbf {v} }_{i}\}}$, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base ci sono due casi:

• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente dipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:

${\displaystyle \mathbf {v} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(\mathbf {v} _{i}).}$

Matrice associata

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi ${\displaystyle B_{V}}$ e ${\displaystyle B_{W}}$ per ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W,}$ ogni trasformazione lineare da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

${\displaystyle B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}),}$

${\displaystyle B_{W}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}).}$

Ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ in ${\displaystyle V}$ è univocamente determinato dalle sue coordinate ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n},}$ definite in modo che:

${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è una trasformazione lineare si ha:

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {v} _{n}).}$

Quindi la funzione ${\displaystyle f}$ è determinata dai vettori ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$. Ciascuno di questi è scrivibile come:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$

La funzione ${\displaystyle f}$ è dunque interamente determinata dai valori di ${\displaystyle a_{i,j},}$ che formano la matrice associata a ${\displaystyle f}$ nelle basi ${\displaystyle B_{V}}$ e ${\displaystyle B_{W}.}$[8]

La matrice associata ${\displaystyle A}$ è di tipo ${\displaystyle m\times n,}$ e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ di ogni vettore di ${\displaystyle V}$ grazie alla relazione seguente:

${\displaystyle A[\mathbf {v} ]_{B_{V}}=[\mathbf {w} ]_{B_{W}},}$

dove ${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{B_{V}}}$ e ${\displaystyle [\mathbf {w} ]_{B_{W}}}$ sono le coordinate di ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettoriale

L'insieme ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$ delle applicazioni lineari da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W}$ è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo ${\displaystyle K}$ formato da tutte le funzioni da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W,}$ infatti:[9]

• se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ e ${\displaystyle g\colon V\to W}$ sono lineari, allora è lineare la loro somma ${\displaystyle f+g,}$ definita dalla relazione

${\displaystyle (f+g)(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} )+g(\mathbf {v} );}$

• se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è lineare e ${\displaystyle a}$ è un elemento del campo ${\displaystyle K,}$ allora la funzione ${\displaystyle af,}$ definita da ${\displaystyle (af)(\mathbf {v} )=a(f(\mathbf {v} )),}$ è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)\to M(n,m)}$ tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici ${\displaystyle n\times m,}$ dove ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ sono le dimensioni rispettivamente di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W.}$

Nucleo e immagine

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è lineare, il nucleo di ${\displaystyle f}$ è l'insieme:[10]

${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)=\{\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=0\},}$

mentre l'immagine di ${\displaystyle f}$ è l'insieme:[11]

${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=\{f(\mathbf {x} )\in W:\mathbf {x} \in V\}.}$

L'insieme ${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)}$ è un sottospazio di ${\displaystyle V}$, mentre ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ è un sottospazio di ${\displaystyle W}$. Se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:[12]

${\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\operatorname {Im} (f))=\dim(V).}$

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to V}$ è un endomorfismo di ${\displaystyle V.}$ L'insieme di tutti gli endomorfismi ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo ${\displaystyle K}$: in particolare formano un anello e uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K.}$ L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di ${\displaystyle V.}$

Un endomorfismo biiettivo di ${\displaystyle V}$ viene chiamato automorfismo di ${\displaystyle V.}$ La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di ${\displaystyle V}$ forma un gruppo, il gruppo generale lineare di ${\displaystyle V,}$ chiamato ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$ o ${\displaystyle \mathrm {GL} (V).}$

Se la dimensione di ${\displaystyle V}$ è finita basterà che ${\displaystyle f}$ sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

${\displaystyle {\textrm {End}}(V)\to M(n)}$

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di ${\displaystyle V}$ è isomorfo al gruppo lineare generale ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ di tutte le matrici ${\displaystyle n\times n}$ invertibili a valori in ${\displaystyle K.}$

Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta

Siano ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ insiemi e siano ${\displaystyle F(A,C)}$ e ${\displaystyle F(B,C)}$ le famiglie di funzioni da ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle C}$ e da ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle C}$ rispettivamente. Ogni ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ determina univocamente una corrispondenza ${\displaystyle \phi ^{*}\colon F(B,C)\to F(A,C)}$ chiamata pull-back tramite ${\displaystyle \phi ,}$ che manda ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle F\circ \phi .}$

Se nello specifico si considerano ${\displaystyle A=V}$ e ${\displaystyle B=W}$ due spazi vettoriali su un campo ${\displaystyle K=C}$ e anziché prendere interamente ${\displaystyle F(V,K)}$ e ${\displaystyle F(W,K)}$ si considerano gli spazi duali ${\displaystyle V^{*}}$ e ${\displaystyle W^{*}}$ si ha che ad ogni trasformazione lineare ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite ${\displaystyle \phi }$, ovvero la funzione ${\displaystyle \phi ^{*}\colon W^{*}\to V^{*}}$ che prende il nome di trasposta di ${\displaystyle \phi .}$

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in ${\displaystyle V^{*}}$ e ${\displaystyle W^{*}}$ che ${\displaystyle \phi ^{*}}$ è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ e le rispettive duali in ${\displaystyle V^{*}}$ e ${\displaystyle W^{*},}$ la matrice di trasformazione associata a ${\displaystyle \phi ^{*}}$ è la trasposta di quella di ${\displaystyle \phi .}$

Segue dalla definizione che un funzionale ${\displaystyle \lambda \in W^{*}}$ viene mandato in zero da ${\displaystyle \phi ^{*}}$ solo se l'immagine di ${\displaystyle \phi }$ è contenuta nel nucleo di ${\displaystyle \lambda }$ cioè, indicando con ${\displaystyle U^{\perp }}$ il sottospazio dei funzionali che annullano ${\displaystyle U\subset W}$, si ha ${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi ^{*})\subseteq (\Im \phi )^{\perp }}$. Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale ${\displaystyle \mu \in V^{*}}$ è immagine di un funzionale ${\displaystyle \eta \in W^{*}}$ (vale a dire ${\displaystyle \mu =\phi ^{*}(\eta )}$ solo se ${\displaystyle \eta }$ annulla il nucleo di ${\displaystyle \phi }$, ossia ${\displaystyle \Im (\phi ^{*})\subseteq (\mathrm {Ker} \phi )^{\perp }}$ . Nel caso in cui ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni ${\displaystyle \dim ~V=\mathrm {Ker} \phi +(\mathrm {Ker} \phi )^{\perp }}$ e ${\displaystyle \dim ~W^{*}=\dim ~W=\Im \phi +(\Im \phi )^{\perp }}$ che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

Esempi

• La moltiplicazione ${\displaystyle f(v)=av,}$ in qualsiasi spazio vettoriale su ${\displaystyle K,}$ per una costante fissata ${\displaystyle a\in K.}$
• Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
• Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
• La proiezione di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ decomposto in somma diretta:

  ${\displaystyle V=U\oplus W}$

  su uno dei due sottospazi ${\displaystyle U}$ o ${\displaystyle W.}$
• Una matrice ${\displaystyle A}$ di tipo ${\displaystyle m\times n}$ con valori reali definisce una trasformazione lineare:

  ${\displaystyle L_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\qquad L_{A}(v)=Av,}$

  dove ${\displaystyle Av}$ è il prodotto di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle v.}$ Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
• L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nello spazio di tutte le funzioni.
• Lo spazio ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

  ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\qquad f(z)={\bar {z}}}$

  è una mappa ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare ma non ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

Note

1. S. Lang, Pag. 82.
2. Hoffman, Kunze, Pag. 67.
3. Hoffman, Kunze, Pag. 68.
4. Hoffman, Kunze, Pag. 80.
5. S. Lang, Pag. 86.
6. S. Lang, Pag. 96.
7. Ray Alden Kunze, Linear algebra, 2d ed, 1971, p. 69, ISBN 0-13-536797-2, OCLC 139865. URL consultato l'8 gennaio 2022.
8. S. Lang, Pag. 84.
9. S. Lang, Pag. 85.
10. S. Lang, Pag. 90.
11. S. Lang, Pag. 91.
12. S. Lang, Pag. 92.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Combinazione lineare
• Funzionale lineare
• Funzione lineare
• Linearità (matematica)
• Matrice di trasformazione
• Operatore lineare continuo
• Pull-back
• Teorema della dimensione
• Trasformazione affine
• Spazio duale

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Trasformazione lineare, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Linear Transformation, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Linear function, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) http://www.falstad.com/matrix/

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