Segnatura (algebra lineare)

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che corrispondono al numero di autovalori di una matrice simmetrica (o di un prodotto scalare associato).

La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura ${\displaystyle (n,0,0)}$, mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura ${\displaystyle (3,1,0)}$ oppure ${\displaystyle (1,3,0)}$, a seconda delle convenzioni.

Definizione

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice simmetrica reale (cioè i cui valori sono numeri reali). La segnatura ${\displaystyle (i_{+},i_{-},i_{0})}$ di ${\displaystyle A}$ è una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori ${\displaystyle i_{+},i_{-}}$ e ${\displaystyle i_{0}}$ sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di ${\displaystyle A}$, ciascuno è contato con la sua molteplicità algebrica.

Se ${\displaystyle \phi }$ è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ di dimensione finita, la segnatura di ${\displaystyle \phi }$ è definita come la segnatura della matrice che rappresenta ${\displaystyle \phi }$ rispetto ad una qualsiasi base.[1]

Notazioni alternative

Nei casi in cui ${\displaystyle i_{0}=0}$, vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine ${\displaystyle i_{0}}$ è omesso, e si parla di segnatura come coppia ${\displaystyle (i_{+},i_{-})}$ di numeri. In alternativa, la segnatura è descritta scrivendo i segni "${\displaystyle +}$" e "${\displaystyle -}$" rispettivamente ${\displaystyle i_{+}}$ e ${\displaystyle i_{-}}$ volte. Quindi si scrive ${\displaystyle (+,+,-)}$ per ${\displaystyle (2,1)}$, cioè ${\displaystyle (2,1,0)}$, e ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ per ${\displaystyle (1,3)}$, cioè ${\displaystyle (1,3,0)}$. Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relatività ristretta e generale. Oppure si può usare anche un singolo numero ${\displaystyle s:=i_{+}-i_{-}}$.

Proprietà

Teorema spettrale

Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale ${\displaystyle A_{n\times n}}$ è diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente ${\displaystyle n}$ autovalori reali (contati con molteplicità). Quindi ${\displaystyle i_{+}+i_{-}+i_{0}=n}$.

Teorema di Sylvester

Per il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura è un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.

Interpretazione geometrica degli indici

I valori ${\displaystyle i_{+},i_{-}}$ e ${\displaystyle i_{0}}$ sono detti indice di positività, negatività e nullità. L'indice di nullità è la dimensione del radicale di ${\displaystyle \phi }$, oppure del nucleo di ${\displaystyle A}$. Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura ${\displaystyle (i_{+},i_{-},0)}$.

Gli indici ${\displaystyle i_{+}}$ e ${\displaystyle i_{-}}$ sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare è rispettivamente definito positivo o negativo.

Esempi

Matrici

La segnatura della matrice identità ${\displaystyle n\times n}$ è ${\displaystyle (n,0,0)}$. Più in generale, la segnatura di una matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi positivi, negativi e nulli sulla diagonale principale.

Le matrici seguenti hanno entrambe segnatura ${\displaystyle (1,1,0)}$, e sono quindi congruenti per il teorema di Sylvester:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Prodotti scalari

Il prodotto scalare standard in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ha segnatura ${\displaystyle (n,0,0)}$. Un prodotto scalare ha questa segnatura se e solo se è definito positivo.

Un prodotto scalare definito negativo ha segnatura ${\displaystyle (0,n,0)}$. Un prodotto scalare semidefinito positivo ha segnatura ${\displaystyle (n,0,m)}$, ed uno semidefinito negativo ${\displaystyle (0,n,m)}$.

Lo spazio-tempo di Minkowski è ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ con il prodotto scalare definito dalla matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

ed ha quindi segnatura ${\displaystyle (1,3,0)}$. Alcuni autori usano la matrice con i segni opposti, ottenendo la segnatura ${\displaystyle (3,1,0)}$.

Calcolo della segnatura

Per calcolare la segnatura di una matrice (simmetrica) sono disponibili alcune tecniche.

• Poiché il polinomio caratteristico ha tutte le radici reali, il loro segno può essere determinato con la regola dei segni di Cartesio.
• L'algoritmo di Lagrange fornisce un metodo per calcolare una base ortogonale, e quindi per calcolare una matrice diagonale congruente (e quindi con la stessa segnatura) a quella data: la segnatura di una matrice diagonale si ottiene quindi contando i segni dei valori sulla diagonale.
• Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i determinanti dei suoi minori principali sono tutti positivi.

Note

1. Grazie al teorema di Sylvester, questa definizione non dipende dalla base scelta.

Bibliografia

• Tevian Dray, George Ellis, Charles Hellaby e Corinne A. Manogue, Gravity and signature change, in General Relativity and Gravity, vol. 29, 1997, pp. 591–597, Bibcode:1997GReGr..29..591D, DOI:10.1023/A:1018895302693, arXiv:gr-qc/9610063.

Voci correlate

• Congruenza fra matrici
• Forma sesquilineare
• Matrice simmetrica
• Prodotto scalare
• Teorema di Sylvester
• Teorema spettrale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Segnatura, su MathWorld, Wolfram Research.