In matematica, una isometria (dal grecoἴσος, isos, che significa uguale) è una nozione che generalizza quella di movimento rigido di un oggetto o di una figura geometrica. Formalmente, è una funzione fra due spazi metrici che conserva le distanze.
Le isometrie (che significa: uguali misure) sono tutte le trasformazioni (movimenti, spostamenti) che mantengono inalterate le figure, più precisamente che mantengono inalterate le caratteristiche misurabili (la lunghezza dei lati, l'ampiezza degli angoli)
Si definisce isometria una funzione fra due spazi metrici tale che, per ogni coppia di punti in , vale l'uguaglianza:
Qui e denotano le distanze rispettivamente in e . In altre parole, la distanza fra due punti di è uguale alla distanza fra le loro immagini in .
Una tale funzione è necessariamente iniettiva, non è però necessariamente suriettiva: alcuni autori includono la suriettività nella definizione di isometria; con questa definizione ogni isometria definisce una corrispondenza biunivoca.
Gruppo di isometrie
Le isometrie di uno spazio metrico fissato formano un gruppo con l'operazione di composizione di funzioni. Questo gruppo è il gruppo delle isometrie di , spesso indicato con . Ad esempio:
Nel caso di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare, una isometria è spesso definita diversamente: in questo contesto un'isometria è un'applicazione lineare che conserva il prodotto scalare, cioè tale che
Nel caso in cui il prodotto scalare sia definito positivo, lo spazio vettoriale è anche uno spazio metrico e le due definizioni fondamentalmente coincidono; l'unica differenza consiste che nello spazio vettoriale l'isometria è supposta fissare l'origine: in particolare, non sono ammesse traslazioni.
che è un isomorfismo lineare fra gli spazi tangenti in e in . La funzione è un'isometria se per ogni coppia di vettori tangenti in ogni punto vale la relazione
Qui e sono il tensore metrico in e in .
In altre parole, si richiede che sia il pull-back del tensore di rango (0,2):
Una varietà riemanniana è anche uno spazio metrico: una isometria fra varietà riemanniane è anche un'isometria fra spazi metrici nel senso usuale.
Le antitraslazioni, (o glissosimmetrie, o glissoriflessioni, o simmetrie con scorrimento), ottenibili con una simmetria assiale composta a una traslazione lungo una retta parallela all'asse della simmetria assiale.
Come nel piano euclideo, tramite isometrie è possibile ruotare lo spazio iperbolico intorno a un punto e spostare un punto su un altro punto qualsiasi.