Campo ordinato

In matematica, e più precisamente in algebra, un campo ordinato è un campo dotato di un ordinamento totale "compatibile" con le operazioni del campo. Il concetto fu introdotto da Emil Artin nel 1927.

Definizione

Un campo K dotato di un ordine totale ≤ è un campo ordinato se sono verificate le proprietà seguenti per ogni a, b, c nel campo:

• se a ≤ b allora a + c ≤ b + c
• se 0 ≤ a e 0 ≤ b, allora 0 ≤ a·b

Proprietà

Altre relazioni

Dagli assiomi seguono le proprietà seguenti, valide per ogni a, b, c, d in K:

• Vale una delle due relazioni seguenti: −a ≤ 0 ≤ a oppure a ≤ 0 ≤ −a.
• Le disuguaglianze possono essere sommate: se a ≤ b e c ≤ d, allora a + c ≤ b + d
• Le disuguaglianze possono essere moltiplicate con elementi positivi: se a ≤ b e 0 ≤ c, allora a·c ≤ b·c.

Unità

Il numero 1 è positivo. Infatti se per assurdo 1 non è positivo allora lo è −1, che implica a sua volta che 1 = (−1)(−1) è positivo.

Caratteristica

Un campo ordinato ha caratteristica 0. Infatti 1 > 0 implica 1 + 1 > 0, quindi 1 + 1 + 1 > 0, ecc. e quindi non è possibile ottenere zero come 1 + 1... + 1.

Sottocampi

Ogni sottocampo di un campo ordinato è un campo ordinato (con lo stesso ordinamento). Il più piccolo sottocampo è isomorfo al campo dei numeri razionali (questa proprietà è valida in tutti i campi a caratteristica zero), con il loro ordinamento standard.

Campo archimedeo

Un campo ordinato si dice archimedeo se dati comunque due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ con ${\displaystyle 0<x<y}$ esiste ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tale che ${\displaystyle n\cdot x>y}$.

Si dimostra che un campo è archimedeo se e solo se ogni suo elemento sta tra due elementi del sottocampo razionale. Ad esempio, il campo dei numeri reali è archimedeo, mentre quello dei numeri iperreali non lo è, così come quello dei numeri p-adici.

Se un campo ordinato non è archimedeo, esisteranno almeno due elementi (supponiamoli positivi, ma lo stesso discorso vale qualora fossero negativi, con le dovute modifiche) ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, con ${\displaystyle y}$>${\displaystyle x}$>0, tali che, scelto comunque un numero naturale ${\displaystyle n}$, si abbia ${\displaystyle n\cdot x<y}$; ${\displaystyle x}$ si dice allora un infinitesimo. I campi non archimedei sono un concetto forse controintuitivo ma importante nell'analisi non standard.

Esempi

Esempi di campi ordinati sono i seguenti:

• i numeri razionali
• i numeri reali
• i numeri iperreali

Esempi di campi non ordinati sono i seguenti:

• i numeri complessi

Bibliografia

• Lang, Serge, Algebra, 3° ed, Addison-Wesley, 1997, ISBN 978-0-201-55540-0.

Voci correlate

• Gruppo ordinato
• Spazio vettoriale ordinato