Théorème d'Eisenstein

Le théorème d'Eisenstein est le résultat suivant de géométrie arithmétique, démontré par Gotthold Eisenstein[1] :

Si une série formelle ${\displaystyle y=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}X^{n}}$est algébrique — au sens : solution de P(X, y) = 0 pour un polynôme non nul P(X, Y) à coefficients algébriques — alors[2] il existe un entier non nul A tel que pour tout n > 0, A^na_n soit un entier algébrique[3],[4].

En particulier si les coefficients a_n sont rationnels alors les A^na_n sont entiers[5], donc les facteurs premiers des dénominateurs des a_n appartiennent à l'ensemble fini des facteurs premiers de A. « Une conséquence immédiate de ce résultat, citée d'ailleurs par Eisenstein, est la transcendance des fonctions logarithme ou exponentielle, « mais aussi de beaucoup d'autres »[6]. »

Exemple

Pour tout entier p > 0,

${\displaystyle (1-x)^{1/p}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}}~x^{n}}$

où les nombres positifs C_p,n, qui généralisent ceux de Catalan C_n (correspondant au cas p = 2) sont entiers, car on déduit de leur série génératrice, ${\displaystyle z:=\sum _{n=0}^{\infty }C_{p,n}x^{n}={\frac {1-(1-p^{2}x)^{1/p}}{px}},}$ la valeur C_p,0 = 1 et la relation de récurrence[7] ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad C_{p,n}=\sum _{2\leq k\leq p}{p \choose k}p^{k-2}(-1)^{k}\prod _{i_{1}+\dots +i_{k}=n-k+1}C_{p,i_{j}}.}$

Démonstration

Soit N le degré par rapport à la variable Y du polynôme P(X, Y). Il existe alors des polynômes P_j(X, Y) (à coefficients algébriques) tels que

${\displaystyle P(X,Y+Z)=\sum _{j=0}^{N}P_{j}(X,Y)Z^{j}.}$

Par hypothèse, P(X, y) = 0. De plus, sans perte de généralité, P₁(X, y) ≠ 0 — sinon, il suffit de remplacer P(X, Y) par P₁(X, Y), qui est non nul et dont le degré en Y est < N.

Soit m la valuation de P₁(X, y), c'est-à-dire le plus petit indice k pour lequel le coefficient de X^k dans cette série formelle est non nul. On coupe alors y en deux :

${\displaystyle y=u+X^{m+1}v\quad {\rm {pour}}\quad u=\sum _{n=0}^{m+1}a_{n}X^{n}\quad {\rm {et}}\quad v=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\quad (b_{n}=a_{m+1+n}).}$

Comme on sait que sous les hypothèses du théorème, tous les a_n sont des nombres algébriques[8], il suffit, pour prouver la propriété annoncée pour y, de la démontrer pour ${\displaystyle v}$. Or

${\displaystyle 0=P(X,y)=P_{0}(X,u)+P_{1}(X,u)X^{m+1}v+\sum _{j=2}^{N}P_{j}(X,u)(X^{m+1}v)^{j}.}$

Par choix de m, le polynôme P₁(X, u)X^m+1 est divisible par X^2m+1 mais pas par X^2m+2. Comme la somme est nulle, P₀(X, u) est donc lui aussi multiple de X^2m+1 et en divisant par cette puissance de X, on obtient

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}Q_{j}(X)v^{j}=0,\quad \forall j>1\quad Q_{j}(0)=0\quad {\rm {et}}\quad A:=Q_{1}(0)\neq 0.}$

Les coefficients des polynômes Q_j sont algébriques. Quitte à les multiplier par un nombre adéquat, on peut donc supposer que ce sont des entiers algébriques et que A est même un entier. Alors, tous les A^nb_n sont des entiers algébriques, par récurrence sur n ≥ 1. En effet, en isolant le terme de degré n dans

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}Q_{j}(X)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)^{j}=0,}$

on trouve que Ab_n est une combinaison linéaire, à coefficients entiers algébriques, de termes de la forme

${\displaystyle \prod _{1\leq i<n}b_{i}^{k_{i}}\quad {\rm {avec}}\quad \sum ik_{i}<n.}$

Notes et références

1. (de) G. Eisenstein, « Über eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen aller algebraischen Funktionen », Bericht Königl. Preuß Akad. d. Wiss. zu Berlin,‎ 1852, p. 411-444 — (de) Mathematische Gesammelte Werke, vol. II, Chelsea, 1975, p. 765-767.
2. La réciproque est fausse : (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. 2, Springer, 1976 (lire en ligne), p. 136.
3. On rencontre des formulations équivalentes de cette conclusion : il existe un entier non nul A tel que pour tout n ≥ 0, A^n+1a_n soit un entier algébrique, ou encore : il existe des entiers non nuls A et B tels que pour tout n ≥ 0, BA^na_n soit un entier algébrique.
4. (en) Wolfgang Schmidt, « Eisenstein's theorem on power series expansions of algebraic functions », Acta Arith., vol. 56, n^o 2,‎ 1990, p. 161-179 (lire en ligne).
5. (en) J. W. S. Cassels, Local Fields, Cambridge University Press, 1986 (lire en ligne), p. 28-30.
6. Antoine Chambert-Loir, « Théorèmes d'algébricité en géométrie diophantienne : d'après J.-B. Bost, Y. André, D. & G. Chudnowski », Séminaire Bourbaki, vol. 43, n^o 886,‎ 2001, p. 175-209 (lire en ligne).
7. En utilisant que (1 – pxz)^p = 1 – p^2x et que le produit des séries génératrices correspond à la convolution des suites, cf. Thomas M. Richardson, « The Super Patalan Numbers », octobre 2014 (arXiv 1410.5880).
8. Le corps L qu'ils engendrent, sur le corps de nombres K engendré par les coefficients de P, est même une extension finie car [L:K] = [L((X)):K((X))] = [K((X))(y):K((X))] ≤ N.

Voir aussi

Articles connexes

• Dixième problème de Hilbert
• Suite automatique
• Théorème de Puiseux
• Théorie d'Arakelov (en)

Liens externes

• (en) E. J. Wilczynski, « On the form of the power series for an algebraic function », Amer. Math. Month., vol. 26, n^o 1,‎ 1919, p. 9-12 (JSTOR 2974040)
• (en) A. J. van der Poorten, « Power series representing algebraic functions », dans Séminaire de théorie des nombres, Paris 1990-91, Birkhäuser, 1992 (lire en ligne [archive du 30 avril 2013]), p. 241-262