Théorème de Puiseux

Le théorème de Puiseux donne une description des solutions des équations polynomiales dont les coefficients sont des séries formelles de Laurent à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Une variante du théorème de Puiseux décrit les racines des équations polynomiales dont les coefficients sont des fonctions méromorphes.

Jean le Rond D'Alembert l'accepte comme un théorème et l'utilise comme tel dans sa démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss.

Énoncé

Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Alors le corps K⟪X⟫ des séries de Puiseux est une clôture algébrique du sous-corps K((X)) des séries de Laurent.

On peut montrer que chacune des deux hypothèses faites sur K est nécessaire.^[réf. souhaitée]

Démonstration

Remarquons d'abord que K⟪X⟫ est une extension algébrique de K((X)). En effet, une série de Puiseux de la forme ${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}X^{i/n}}$ (avec k entier relatif et a_i ∈ K) appartient à l'extension finie K((X))[X^1/n] (de degré n).

Soit Ω une clôture algébrique de K⟪X⟫ donc de K((X)), montrons que K⟪X⟫ est égal à Ω tout entier. Dans Ω[1], soient L une extension de degré n de K((X)) et B la fermeture intégrale dans L de K[[X]]. Montrons que B ⊂ K[[X^1/n]], ce qui prouvera que L ⊂ K((X^1/n)) ⊂ K⟪X⟫ et conclura.

L'anneau B est local, son idéal maximal étant constitué des éléments dont la norme relative (dans K[[X]]) est divisible par X. Comme de plus B est de Dedekind, c'est un anneau de valuation discrète.

Soit Y une uniformisante pour B. Il existe un inversible u tel que X = uY^n. Puisque K est algébriquement clos, le corps résiduel B/(Y) (extension finie de K) lui est égal et contient une racine n-ième de u mod Y. Or B est complet pour la topologie Y-adique, parce qu'il l'est pour la topologie X-adique (du fait que K[[X]] l'est (en)) et que ces deux topologies sur B coïncident. On peut donc appliquer le lemme de Hensel : cette racine mod Y se relève en une racine n-ième, v, de u dans B. L'uniformisante Z := vY est alors une racine n-ième de X donc produit de X^1/n par un élément non nul de K.

Tout élément de B s'écrit alors (par approximations successives[2]) comme une série formelle en X^1/n à coefficients dans K, comme annoncé.

Notes et références

1. La suite de cette preuve s'inspire de (en) David Eisenbud, Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (n^o 150), 1995 (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne), p. 299-300 et (en) Akhil Mathew, « Completions », sur CRing project, mais ils utilisent un autre argument pour montrer que B est local : le [[Module sur un anneau|K''X''-module]] B est de type fini (cf. § « Anneau d'entiers » de l'article sur les anneaux noethériens) si bien que B/XB est artinien donc produit (fini) de ses localisés par ses idéaux maximaux. Par une application du lemme de Hensel, cette décomposition de B/XB se relève en une décomposition de B, ce qui prouve que B est un produit d'anneaux locaux. Puisqu'il est intègre, ce produit est réduit à un seul terme.
2. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 42, en particulier les cinq dernières lignes (ou p. 33 de la version en anglais).

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Springer, 2007 (ISBN 9783540343981), chap. V, exerc. 2 p. 143

Voir aussi

Articles connexes

• Anneau hensélien
• Extensions finies de corps locaux (en)
• Polygone de Newton
• Théorème de préparation de Weierstrass

Liens externes

• (en) Shreeram Shankar Abhyankar, Algebraic Geometry for Scientists and Engineers, AMS, 1990 (lire en ligne), « Hensel's Lemma and Newton's Theorem », p. 89-94
• (en) Krzysztof Jan Nowak, « Some elementary proofs of Puiseux’s theorems », Univ. Iagel. Acta Math., vol. 38,‎ 2000, p. 279-282 (lire en ligne)
• (en) Eric W. Weisstein, « Puiseux's Theorem », sur MathWorld