Strophoïde

Construction de la strophoïde droite de pôle X et de point fixe O, en prenant pour courbe de base l'axe Oy.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

Construction

Construction d'une strophoïde dans le cas général

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P₁ et P₂ les deux points de L tels que P₁K = P₂K = AK. Le lieu géométrique des pointsP₁ et P₂ est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP₁ et AP₂ sont orthogonaux.

Équations

Coordonnées polaires

Soit la courbe C donnée par ${\displaystyle r=f(\theta )}$, où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si ${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$ est un point de la courbe, la distance de K à A est

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$.

Les points de la droite OK ont pour angle polaire ${\displaystyle \theta }$, et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance ${\displaystyle f(\theta )\pm d}$ de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$.

Coordonnées cartésiennes

Soit C d'équations paramétriques (x = x(t) ,y = y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

${\displaystyle x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),}$

où

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.}$

Une autre formule polaire

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, ${\displaystyle \theta }$ l'angle entre OK et l'axe Ox, et ${\displaystyle \vartheta }$ l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que ${\displaystyle \vartheta }$ soit donné en fonction de ${\displaystyle \theta }$, sous la forme ${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$. Soit ${\displaystyle \psi }$ l'angle en K, donc${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$. On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}}$.

Soit P₁ et P₂ les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon que${\displaystyle \psi ={\widehat {P_{1}KA}}}$ et ${\displaystyle \pi -\psi ={\widehat {AKP_{2}}}}$. Le triangle ${\displaystyle P_{1}KA}$ est isocèle d'angle au sommet ${\displaystyle \psi }$, donc les angles de la base, ${\displaystyle {\widehat {AP_{1}K}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {KAP_{1}}}}$, valent${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$. L'angle entre AP₁ et l'axe Ox est alors

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$.

Utilisant le fait que AP₁ et AP₂ sont perpendiculaires (car le triangleAP₁P₂ est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP₂ et l'axe Ox vaut

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$.

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l₁ et l₂ d'après les formules précédentes :

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme ${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$ ; dans ce cas l₁ et l₂ ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

Cas particuliers

Strophoïdes obliques

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, ${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$, où ${\displaystyle \alpha }$ est une constante, et ${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$ ; ${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$. Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

et

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}}$.

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin) et remplaçant −a par a, on obtient

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$ ;

une rotation de ${\displaystyle \alpha }$ transforme cette équation en

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}}$.

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$.

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

La strophoïde droite

Strophoïde droite.

Posant ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ dans

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$,

on obtient

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$.

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

${\displaystyle y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}}$ ;

une représentation paramétrique unicursale est :

${\displaystyle x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$.

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$, données par

${\displaystyle x\pm iy=-a}$.

Strophoïdes de cercles passant par les points fixes

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, ${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$, où ${\displaystyle \alpha }$ est une constante. Ainsi, ${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$ et ${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$. Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

et

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}}$.

Ce sont les équations de deux cercles passant également par O et A, et formant des angles de ${\displaystyle \pi /4}$ avec C en ces points.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Strophoid » (voir la liste des auteurs).
• Sur le site de Robert Ferréol, dans son encyclopédie des formes mathématiques remarquables :
  • "Courbe Strophoïdale" ,
  • "Strophoïde" ,
  • "Strophoïde Droite", où l'on trouvera également beaucoup de propriétés géométriques de cette courbe ;
• Sur le site de MathWorld :
  • (en) Eric W. Weisstein, « Strophoid », sur MathWorld,
  • (en) Eric W. Weisstein, « Right Strophoid », sur MathWorld.