Roulette (courbe)

En géométrie différentielle des courbes (en), une roulette est un type de courbe, une généralisation des cycloïdes, épicycloïdes, hypocycloïdes, trochoïdes, et courbes développantes.

Définition

Définition informelle

Construction d’une roulette, plus spécifiquement une cissoïde de Dioclès.

Grossièrement parlant, une roulette est une courbe décrite par un point (appelé « générateur » ou « pôle ») attaché à une courbe donnée qui elle-même roule sans glisser le long d'une seconde courbe (immobile). Plus précisément, étant donné une courbe « génératrice » dans un plan qui se meut de sorte que la courbe roule, sans glisser, le long d’une courbe directrice fixée à un plan occupant le même espace, alors le point attaché au plan mobile décrit une courbe, appelée roulette.

Dans l'illustration ci-contre, la courbe bleue (immobile) est une parabole, la courbe qui roule (en vert) est une parabole identique et le générateur est le sommet de la parabole mobile (qui décrit la roulette, en rouge). Dans ce cas, la roulette est une cissoïde de Dioclès.

Cas particuliers et notions liées

Lorsque la courbe qui roule est une ligne droite et que le générateur est un point sur cette ligne, la roulette est une développante de la courbe fixe. Si la courbe mobile est un cercle et la courbe fixe une droite alors la roulette est appelée trochoïde. Dans ce cas, si le point est fixé sur le cercle, il s'agit d’une cycloïde.

La glissette, courbe décrite par un point attaché à une courbe glissant le long de deux (ou plusieurs) courbes données est une notion proche.

Définition rigoureuse

D'un point de vue mathématique, il doit s’agir de courbes différentiables de l'espace euclidien. La courbe fixe reste invariante, la courbe roulante est soumise à une transformation congruente continue de sorte qu'à tout instant les courbes sont tangentes en un point de contact qui se meut à la même vitesse le long de chaque courbe. Une autre façon d’exprimer cette contrainte est de dire que le point de contact est le centre instantané de rotation de la transformation congruente. La roulette résultante est le lieu géométrique du générateur soumis à la même fonction congruente.

Modélisons les courbes dans le plan complexe. Soit ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ deux paramétrisations naturelles des courbes (${\displaystyle r}$) (roulante) et (${\displaystyle f}$) (fixée), de sorte que ${\displaystyle r(0)=f(0)}$, ${\displaystyle r^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)}$, et ${\displaystyle |r^{\prime }(t)|=|f^{\prime }(t)|\neq 0}$ pour tout ${\displaystyle t}$.

La roulette de générateur ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ lorsque ${\displaystyle r}$ roule sur ${\displaystyle f}$ est donnée par l'application :

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Généralisation

Si, à la place d’un seul point fixé à la courbe mobile, c'est une autre courbe qui est entraînée le long du plan mobile, une famille de courbes congruentes est produite. L'enveloppe de cette famille peut aussi être appelée roulette. Les roulettes dans des espaces de dimension supérieure peuvent être imaginées mais il faut aligner plus que des tangentes.

Exemple

Si la courbe fixe est une chaînette et la courbe roulante une droite,

${\displaystyle f(t)=t+{\rm {i}}(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+{\rm {i}}\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

La paramétrisation de la droite est choisie de telle sorte que :

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle =|r'(t)|.}$

En appliquant la formule précédente, on obtient :

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-{\rm {i}}+{p-\sinh(t)+{\rm {i}}(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-{\rm {i}}+(p+{\rm {i}}){1+{\rm {i}}\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Si p = −i, l'expression a une partie imaginaire constante −i et la roulette est une droite horizontale. Une application intéressante de ceci est qu'une roue carrée (en) peut rouler sans cahotement sur une route formée par une succession d'arcs de chaînettes.

Liste de roulettes

Courbe fixe	Courbe mobile	Point générateur	Roulette
Courbe quelconque	Droite	Point sur la droite	Développante de la courbe
Droite	Cercle	Quelconque	Trochoïde
Droite	Cercle	Point sur le cercle	Cycloïde
Droite	Conique	Centre de la conique	Roulette de Sturm[1],[2]
Droite	Conique (parabole/ellipse/hyperbole)	Foyer de la conique	Roulette de Delaunay[3] (chaînette/chaînette elliptique/chaînette hyperbolique)[4]
Droite	Épicycloïde ou hypocycloïde	Centre	Ellipse[5]
Cercle	Cercle	Quelconque	Trochoïde à centre (en) : épitrochoïde ou hypotrochoïde[6]
Cercle	Cercle	Point sur le cercle	Cycloïde à centre : épicycloïde ou hypocycloïde
Parabole	Même parabole paramétrée dans la direction opposée	Sommet de la parabole	Cissoïde de Dioclès[7]
Chaînette	Droite	Voir exemple ci-dessus	Droite

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Roulette (curve) » (voir la liste des auteurs).

1. « Roulette de Sturm », sur mathcurve.com.
2. Élastique rectangulaire^[réf. nécessaire] si la conique est une hyperbole.
3. « Roulette de Delaunay », sur mathcurve.com.
4. (en) « Delaunay's roulette », sur 2dcurves.com.
5. « Roulette à base rectiligne », sur mathcurve.com.
6. « Trochoïde à centre », sur mathcurve.com.
7. (en) « Cissoid », sur 2dcurves.com.

Voir aussi

Article connexe

Spirographe (jeu)

Bibliographie

(en) W. H. Besant (en), Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co, coll. « Cornell University Historical Math Monographs », 1890 (lire en ligne)

Liens externes

• « Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan », sur mathcurve.com
• (en) Eric W. Weisstein, « Roulette », sur MathWorld
• (en) « Roulette », sur 2dcurves.com
• (de) Roberta Aust, « Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen », sur Beuth Hochschule für Technik Berlin (de), 2001