Ovale de Cassini

Quelques ovales de Cassini. Les foyers sont (-1, 0) et (1, 0).

En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point P de l'ovale à deux autres points fixés P1 et P2 est constant, c’est-à-dire de telle sorte que le produit

soit constant. Les points P1 et P2 sont appelés les foyers de l'ovale.

Les ovales de Cassini portent le nom de Giovanni Domenico Cassini.

Si l'on note b2 le produit constant qui précède, et a la demi-distance entre les foyers,

la forme de l'ovale dépend du rapport b/a.

  • Si b/a est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et continue.
  • Si b/a est plus petit que 1, le lieu est composé de deux boucles non sécantes.
  • Si b/a est égal à 1, le lieu est une lemniscate de Bernoulli.

Équations

Si les foyers des ovales sont de coordonnées (a, 0) et (−a, 0), l'équation de la courbe est donnée par

Ou, en coordonnées polaires :

Propriétés

Trajectoires orthogonales

Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1)

Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).

En effet, l'équation de cette famille d'hyperboles est

Elle est solution de l'équation différentielle  :

Ce qui donne l'équation différentielle des trajectoires orthogonales :

Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation

et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.

Sections planes d'un tore

Ovales de Cassini comme sections planes d'un tore (le tore de droite est à trou nul).

On obtient des ovales de Cassini par intersection d'un tore par un plan parallèle à son axe et à une distance égale au rayon du cercle générateur.

Généralisations

On peut faire de même avec plus de deux foyers, ou plus de deux dimensions.

Par exemple, un ovale de Cassini à n foyers est l'ensemble des points P vérifiant :

Cette définition s'étend naturellement à l'espace, ce qui définit une surface implicite.

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