Lituus (courbe)

En géométrie, un lituus est une courbe plane d'équation polaire : $\rho ^{2}\theta =a^{2}.$ Le nom de «lituus» lui est donné par Roger Cotes dans son Harmonia mensurarum^[1] publié en 1722 en référence à la crosse étrusque de même nom. Cette courbe avait déjà été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire $\rho ^{m}\theta =a^{m+1}$ pour m entier positif ou négatif^[2].

Propriétés géométriques

Le lituus est une courbe transcendante qui possède pour asymptotes son axe polaire et son pôle^[3]. Il possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O.

L'aire du secteur angulaire M₁OM₂ est constante

Pour tout point M situé sur la courbe, on appelle m le point d'intersection du cercle de centre O passant par M avec l'axe polaire. L'aire du secteur angulaire mOM est constant égale à $a 2 /2$ ^[4].

Pour tout point M de la courbe, on appelle T le point d'intersection de la tangente avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM) alors la longueur OT est égale à 2a²/OM. Le lituus est donc une courbe dans laquelle la sous-tangente est inversement proportionnelle au rayon. L'aire du triangle OTM est constante égale au double de l'aire du secteur angulaire mOM^[4].

L'aire balayée par le rayon OM de M_d à M_f est proportionnelle au logarithme du rapport des rayons^[5]^,^[4]: $A=a^{2}|\ln(\rho _{d}/\rho _{f})|$

Le rayon de courbure, pour une courbe paramétrée θ, a pour valeur^[3]: $R=a{\frac {(4\theta ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}{2\theta ^{\frac {3}{2}}(4\theta ^{2}-1)}}$ et pour une courbe paramétrée par ρ, s'exprime par^[4]: $R={\frac {\rho (4a^{4}+\rho 4)^{\frac {3}{2}}}{2a^{2}(\rho ^{4}-4a^{4})}}$ La courbe possède donc un point d'inflexion pour un rayon égal à $a \sqrt 2$ et un angle de $1/2 rad$ .

Son abscisse curviligne est donnée par^[3]: $\mathrm {d} s={\frac {a}{2\theta }}{\sqrt {\frac {1+4\theta ^{2}}{\theta }}}\mathrm {d} \theta$ et la rectification de la courbe fait intervenir des intégrales elliptiques de deuxième espèce^[4].

Relation avec d'autres courbes

Le lituus est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon $a$ , de la spirale de Fermat^[3] d'équation polaire $ρ 2 = a 2 θ$ .

C'est également la radiale de la clothoïde^[6].

Si on fait rouler le lituus sur l'hyperbole d'équation $xy = -2 a 2$ , son centre se déplace sur l'axe des abscisses^[7]. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704^[2].

Notes et références

↑ Cotes 1722.
↑ ^{a et b} Varignon 1704.
↑ ^{a b c et d} Mathcurve.
↑ ^{a b c d et e} Teixeira 1909.
↑ Cotes 1722, p. 86.
↑ Teixeira 1909, p. 110.
↑ Abolghassem Ahmad-Vaziri, « Sur quelsques courbes liées au mouvement d'une courbe plane dans son plan », dans Thèses de l'entre-deux-guerres, 1938 (lire en ligne), p.12.

Bibliographie

(la) Roger Cotes, Harmonia mensurarum, Robert Smith, 1722 (lire en ligne), Pars Tertia Problème IV scholium p. 85
Pierre Varignon, « Nouvelle formation des spirales - exemple II », Mémoire de l'académie des sciences de l'Institut de France,‎ avril 1704, p. 94 - 103 (lire en ligne).
Francisco G. Teixeira, Obras sobre Mathematica : Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, vol. V, Coimbra, Imprensa da Universidade, 1909 (lire en ligne), p. 74-76.
Robert Ferreol, « Lituus », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2017 (consulté le 2 décembre 2018)