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Plan de Moulton Cet article est une ébauche concernant la géométrie. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
 Pour les articles homonymes, voir Moulton. En géométrie d'incidence (en), le plan de Moulton est un exemple de plan affine pour lequel le théorème de Desargues n'est pas valide. Il est nommé en l'honneur de l'astronome américain Forest Ray Moulton. Droites Les points d'un plan de Moulton sont les mêmes que dans R2, mais pas les droites :
Axiomes d'incidenceDroite par deux pointsPar deux points distincts A et B du plan de Moulton, il ne passe qu'une droite de Moulton, notée (AB). Droites sécantesDeux droites de Moulton qui ne sont pas parallèles, ont un seul point commun: Leur intersection. Le plan de Moulton est non arguésien Dans la figure ci-dessus :
Il est évident que les trois points noirs ne sont pas alignés : le plan de Moulton n'est pas arguésien. Axiome d'Euclide dans le plan de Moulton Parallèle à une droite par un pointLe postulat d'Euclide est vrai dans le plan de Moulton: Par un point (en vert) du plan de Moulton, on peut mener une droite de Moulton (en rouge) et une seule, parallèle à une droite de Moulton donnée (en bleu).
 Somme des anglesDans le plan euclidien, le postulat d'Euclide est équivalent au fait que la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°. Dans le plan de Moulton ce n'est pas toujours vrai, puisque la somme des angles du triangle de Moulton ci-contre vaut plus de 190° : en effet, les angles valent respectivement, au degré près par défaut :
Leur somme est donc supérieure à 34 + 76 + 80 = 190°. Géométrie du triangle dans le plan de Moulton MédianesLa notion de milieu existe toujours dans le plan de Moulton, et donc celle de médiane aussi:
 MédiatricesLes médiatrices d'un triangle de Moulton non plus, ne sont pas concourantes: Le centre du cercle circonscrit n'existe pas. Dans la figure ci-contre, la médiatrice est définie comme droite de Moulton passant par le milieu. Si on définit la médiatrice de AB comme lieu des points équidistants de A et B, le lieu n'est pas une droite de Moulton; mais il peut alors arriver que les trois médiatrices soient concourantes, et dans ce cas leur point commun est centre du cercle circonscrit. Le cercle de centre O et de rayon R est défini comme l'ensemble des points M du plan de Moulton tels que la distance de Moulton entre O et M égale R.
 HauteursLes hauteurs d'un triangle de Moulton par contre, sont concourantes et un triangle de Moulton possède donc un orthocentre.  Sauf que ce n'est pas toujours le cas : l'existence ni l'unicité des hauteurs ne sont pas assurées dans le plan de Moulton : ci-contre, on a réussi à mener par un point deux droites de Moulton perpendiculaires à une même droite ! Ainsi, ci-dessus, le triangle de Moulton a 4 hauteurs, et la hauteur supplémentaire, représentée en rouge, ne passe pas par l'orthocentre… Notes et référencesVoir aussiBibliographie
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