Nombre premier de Pierpont

En arithmétique, les nombres premiers de Pierpont — nommés ainsi d'après James Pierpont — sont les nombres premiers de la forme 2^u3^v + 1, pour u et v deux entiers naturels.

On montre facilement que si v = 0 et u > 0, alors u doit être une puissance de 2, c'est-à-dire que 2^u + 1 doit être un nombre de Fermat.

Par ailleurs, si v > 0 alors u doit être lui aussi non nul (car si v > 0 alors le nombre pair 3^v + 1 est strictement supérieur à 2 et par conséquent composé) donc le nombre de Pierpont est de la forme 6k + 1.

Les quinze premiers[1] nombres de Pierpont sont 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257 et 433.

Distribution des nombres premiers de Pierpont

Distribution des exposants des plus petits nombres de Pierpont

Andrew Gleason a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restrictions par rapport à la factorisation algébrique ; il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres de Mersenne premiers. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 10^6, 59 inférieurs à 10^9, 151 inférieurs 10^20 et 789 inférieurs à 10^100 ; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.

Les nombres de Pierpont connus en tant que facteurs de nombres de Fermat

Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncés comme tels. La table suivante[2] donne des valeurs de m, v et u tels que

${\displaystyle 2^{u}3^{v}+1{\text{ est premier et divise le nombre de Fermat }}2^{2^{m}}+1.}$

m	v	u	année de découverte	Chercheurs
38	1	41	1903	Cullen, Cunningham & Western
63	2	67	1956	Robinson
207	1	209	1956	Robinson
452	3	455	1956	Robinson
9 428	2	9 431	1983	Keller
12 185	4	12 189	1993	Dubner
28 281	4	28 285	1996	Taura
157 167	1	157 169	1995	Young
213 319	1	213 321	1996	Young
303 088	1	303 093	1998	Young
382 447	1	382 449	1999	Cosgrave & Gallot
461 076	2	461 081	2003	Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
672 005	3	672 007	2005	Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2 145 351	1	2 145 353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2 478 782	1	2 478 785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2 543 548	2	2 543 551	2011	S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2^2 478 785 + 1[3], dont la primalité fut prouvée par John B. Cosgrave (en) en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves Gallot[4]. En 2014, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2^10 829 346 + 1[3],[5], mais il ne fait pas partie de la liste des diviseurs connus d'un nombre de Fermat.

En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier dont le nombre de côtés est supérieur ou égal à 4 et de la forme 2^m3^nρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts. Ces polygones réguliers sont que ceux que l'on peut construire au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle[6]. Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec seulement un compas et une règle correspondent au cas spécial où n = 0 et ρ est le produit de nombres premiers de Fermat distincts, eux-mêmes un sous-ensemble des nombres premiers de Pierpont.

Le plus petit nombre premier qui ne soit pas un nombre premier de Pierpont (ou de Fermat) est 11, donc le hendécagone est le plus petit polygone régulier qui ne peut pas être construit au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Tous les autres n-gones réguliers avec 3 ≤ n ≤ 21 peuvent être construits au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle (si besoin).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pierpont prime » (voir la liste des auteurs).

1. Pour les 8 396 premiers, voir suite A005109 de l'OEIS.
2. Wilfrid Keller, Fermat factoring status.
3. Chris Caldwell, The largest known primes at The Prime Pages.
4. Proof-code: g245 at The Prime Pages.
5. (en) Official announcement of discovery of 3 × 2^10 829 346 + 1, PrimeGrid.
6. (en) Eric W. Weisstein, « Pierpont Prime », sur MathWorld.