Nombre de Bell

Représentation d'une fonction interpolant la suite des nombres de Bell.

En mathématiques, le n-ième nombre de Bell (du nom de Eric Temple Bell) est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments distincts[1] ou, ce qui revient au même, le nombre de relations d'équivalence sur un tel ensemble.

Premières propriétés

• Ces nombres forment la suite d'entiers  A000110 de l'OEIS, dont on peut calculer à la main les premiers termes :${\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad B_{7}=877,\quad \ldots }$Le premier vaut 1 car il existe exactement une partition de l'ensemble vide : la partition vide, formée d'aucune partie. En effet, ses éléments (puisqu'il n'y en a aucun) sont bien non vides et disjoints deux à deux, et de réunion vide.
• Les ${\displaystyle B_{3}=5}$ partitions de ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ sont ${\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\}}$, ${\displaystyle \{\{a,b,c\}\}}$, et les trois partitions du type ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}$.
• Les nombres de Bell peuvent aussi se calculer de proche en proche par la relation de récurrence suivante, parfois nommée « relation d'Aitken »[2] et en fait due au mathématicien japonais du XVIII^e siècle Yoshisuke Matsunaga[3]:${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k},}$qui peut se démontrer ainsi :
  Ayant fixé un élément x dans un ensemble à n + 1 éléments, on trie les partitions suivant le nombre k d'éléments hors de la partie contenant x.
  Pour chaque valeur de k de 0 à n, il faut donc choisir k éléments parmi les n éléments différents de x, puis s'en donner une partition.
• Les sept plus petits nombres de Bell premiers sont B₂ = 2, B₃ = 5, B₇ = 877, B₁₃ = 27 644 437, B₄₂ = 35 742 549 198 872 617 291 353 508 656 626 642 567, B₅₅ = 359 334 085 968 622 831 041 960 188 598 043 661 065 388 726 959 079 837 et B₂₈₄₁ (cf. suites  A051131 et  A051130 de l'OEIS). On ignore s'il en existe d'autres.

Série génératrice

Pour manipuler tous les nombres de Bell, on peut s'intéresser aux séries génératrice et génératrice exponentielle associées, qui sont respectivement :

${\displaystyle G(X)=\sum _{n}B_{n}X^{n}{\text{ et }}E(X)=\sum _{n}{\frac {B_{n}}{n!}}X^{n}=1+X+2{\frac {X^{2}}{2!}}+5{\frac {X^{3}}{3!}}+15{\frac {X^{4}}{4!}}+\ldots }$

La première est par exemple[4] utilisée pour étudier les classes de congruence des ${\displaystyle B_{n}}$. Quant à la seconde série formelle, elle satisfait l'équation différentielle ${\displaystyle E'(X)=\mathrm {e} ^{X}E(X)}$ : on le constate en écrivant la formule de récurrence sous la forme

${\displaystyle {\frac {B_{n+1}}{n!}}=\sum _{k+l=n}{\frac {1}{k!}}{\frac {B_{l}}{l!}}~.}$

On en déduit qu'elle est égale à ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{X}}}$ à une constante multiplicative près (qu'on trouve par identification du terme constant) :

${\displaystyle E(X)=\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{X}-1}.}$

L'identification des coefficients conduit à la formule de Dobinski :

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\mathrm {e} }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}$

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson de paramètre 1.

D'autres propriétés

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\mod p.}$

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de seconde espèce :

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.}$

Plusieurs formules asymptotiques pour les nombres de Bell sont connues ; l'une d'elles est

${\displaystyle B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left[{\frac {n}{W(n)}}\right]^{n+{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {n}{W(n)}}-n-1},}$

où W est la fonction W de Lambert ; on obtient une approximation moins précise, mais plus commode d'emploi, à l'aide de l'encadrement ${\displaystyle \ln x-\ln \ln x<W(x)<\ln x}$ ; on pourra également remarquer la similitude de l'approximation précédente avec la formule de Stirling[5].

Voir aussi

• Les nombres de Bell ordonnés, qui dénombrent les partitions ordonnées.
• Le triangle de Bell, qui permet d'obtenir simplement les nombres de Bell
• Les nombres de Stirling de seconde espèce qui dénombrent les partitions d'un ensemble à ${\displaystyle n}$ éléments en ${\displaystyle k}$ sous-ensembles.

Notes et références

1. Les éléments d'un ensemble sont toujours distincts dans la théorie des ensembles usuelle, mais ce n'est pas le cas dans la théorie des multiensembles. Et, le nombre de partition d'un ensemble à n éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.
2. (en) A. C. Aitken, « A Problem in Combinations », Mathematical Notes, vol. 28,‎ janvier 1933, xviii–xxiii (ISSN 1757-7489 et 2051-204X, DOI 10.1017/S1757748900002334, lire en ligne, consulté le 29 mai 2021)
3. Donald Knuth, The Art of Computer Programming : History of Combinatorial Generation, vol. 4, fasc. 4, Addison Wesley, 2010
4. Daniel Barsky et Bénali Benzaghou, « Nombres de Bell et somme de factorielles », Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, vol. 16,‎ 2004, p. 1-17 (lire en ligne [PDF])
5. On trouvera d'autres approximations de B_n sur (en) Eric W. Weisstein, « Bell Number », sur MathWorld.

Bibliographie

• Donald Knuth, The Art of Computer Programming : History of Combinatorial Generation, vol. 4, fasc. 3, Addison Wesley, 2010