Mesake Doge commence sa carrière avec l'équipe amateure de Naitasiri dans le championnat national fidjien[4].
En 2016, il est annoncé dans l'effectif de l'équipe australienne des Greater Sydney Rams en NRC mais ne dispute aucune rencontre[5].
L'année suivante, il fait partie du groupe élargi de l'équipe fidjienne des Fijian Drua, qui dispute également le NRC, mais n'est ensuite pas retenu dans le groupe définitif[6],[7].
Plus tard en 2017, il rejoint le club roumain des Timișoara Saracens en SuperLiga[8]. Avec ce club, il remporte le championnat en 2018[9].
En , il est annoncé qu'il rejoint la province galloise des Dragons en United Rugby Championship[13]. Au terme de sa première saison au club, malgré un temps de jeu conséquent et de bonnes performances, il n'est pas conservé par la province[14].
Il fait ensuite son retour aux Fidji, et s'engage avec la franchise des Fijian Drua pour la saison 2023 de Super Rugby[15],[16]. Arrivé blessé au genou, il ne débute avec sa nouvelle équipe qu'au mois de mai, et ne joue que quatre matchs lors de cette première saison[1].
Il est sélectionné pour la première fois avec l'équipe des Fidji en [19]. Il obtient sa première cape internationale le à l'occasion d'un test-match contre la Géorgie à Suva[20],[21].
En , il est sélectionné au sein du groupe élargi fidjien retenu pour préparer la Coupe du monde 2023[24]. En , il fait partie du groupe définitif de 33 joueurs sélectionné pour participer à la Coupe du monde en France[25]. Doublure de Luke Tagi lors de la compétition, il joue quatre matchs comme remplaçant, dont le quart de finale face à l'Angleterre[2].
