Fougère de Barnsley

Une fougère de Barnsley tracée avec VisSim.

La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere[1].

Construction

La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines[2]. La formule pour une application affine est la suivante :

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}}$

Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.

w	a	b	c	d	e	f	p	Partie générée
ƒ1	0	0	0	0.16	0	0	0.01	Tige
ƒ2	0.85	0.04	−0.04	0.85	0	1.60	0.85	Petites folioles
ƒ3	0.20	−0.26	0.23	0.22	0	1.60	0.07	Grandes folioles de gauche
ƒ4	−0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07	Grandes folioles de droite

Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{3}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f_{4}(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}}$

Programmation de la fonction

Le premier point tracé est à l'origine (x₀ = 0, y₀ = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :

ƒ₁

x_{n + 1} = 0

y_{n + 1} = 0.16 y_n.

Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations

ƒ₂

x_{n + 1} = 0.85 x_n + 0.04 y_n

y_{n + 1} = −0.04 x_n + 0.85 y_n + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.

ƒ₃

x_{n + 1} = 0.2 x_n − 0.26 y_n

y_{n + 1} = 0.23 x_n + 0.22 y_n + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).

ƒ₄

x_{n + 1} = −0.15 x_n + 0.28 y_n

y_{n + 1} = 0.26 x_n + 0.24 y_n + 0.44.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).

Variétés mutantes

En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales[3].

Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae[4],[5].

Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.

Coefficients de la fougère Cyclosorus

w	a	b	c	d	e	f	p
ƒ1	0	0	0	0,25	0	-0,4	0,02
ƒ2	0,95	0,005	-0,005	0,93	−0.002	0,5	0,84
ƒ3	0.035	−0.2	0,16	0,04	-0,09	0,02	0,07
ƒ4	−0.04	0.2	0,16	0,04	0,083	0,12	0,07

Notes et références

1. Fractals Everywhere, Boston, MA: Academic Press, 1993, (ISBN 0-12-079062-9)
2. Robert Ferreol, « Fougère », sur mathcurve (consulté le 1^er décembre 2018)
3. Michael Fielding Barnsley, « SuperFractals », dans Superfractals, Cambridge University Press (ISBN 978-1-107-59016-8, lire en ligne), p. 385–442
4. « A Barnsley Fern Generator », sur www.chradams.co.uk (consulté le 10 juillet 2020)
5. « Fractal Ferns », sur www.dcnicholls.com (consulté le 10 juillet 2020)

Articles connexes

• Système de fonctions itérées
• Théorème du collage
• Compression fractale