Théorème du collage

Fougère de Barnsley, construite à partir de copies d'elle-même

En mathématiques le théorème du collage établit l'existence d'une technique constructive d'approximations de tout ensemble compact de points dans l'espace euclidien (tel qu'une image) par l'attracteur d'un système de fonctions itérées, à tout degré de précision souhaité.

En termes simples, il prouve qu'on peut recouvrir toute forme compacte de l'espace par des copies d'elle-même[1].

Ce théorème, utilisé en compression fractale, a été démontré en 1985 par Michael Barnsley[2].

Le théorème

Collage inspiré par une feuille d'arbre et attracteur associé

Soit X un espace métrique complet. Soit ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$ l'ensemble des parties compactes non vides de ${\displaystyle X}$. On munit ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$ d'une structure d'espace métrique complet avec ${\displaystyle h}$, la distance de Hausdorff sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X)}$[3],[4]. Soit ${\displaystyle L\in {\mathcal {H}}(X)}$ l'ensemble à approcher, et soit ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Alors il existe une famille de contractions (IFS) ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ sur ${\displaystyle X}$, avec rapport de contraction ${\displaystyle s}$, telle que :

${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon }$.

Et l'on a

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}},}$

où ${\displaystyle A}$ est l'attracteur de l'IFS.

Remarques

• La dernière inégalité découle immédiatement de l'inégalité

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)}{1-s}}}$

valable pour tout ${\displaystyle L\in {\mathcal {H}}(X)}$ et tout IFS ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ sur ${\displaystyle X}$, d'attracteur ${\displaystyle A}$ et de rapport de contraction ${\displaystyle s}$[5].

• Le théorème du collage apparaît, mise à part l'existence de l'IFS[6], qui est liée à la précompacité de ${\displaystyle L}$, comme un cas particulier du théorème du point fixe de Banach.
• Son intérêt repose sur ses applications[7].
• Le livre[4] de Jean Dieudonné utilisé en référence dans l'énoncé du théorème possède un avant-propos de Gaston Julia, ce qui établit une filiation remarquable entre toutes les idées.

Exemples

• Voici dans le cadre ci-dessus une famille de 4 contractions affines ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}}$ inspirées par une feuille d'arbre dont on aura dessiné le contour et colorié l'intérieur sur une feuille de papier, dessin qui jouera le rôle de ${\displaystyle L}$. On a fait en sorte que ${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{4}w_{n}(L)\right)}$soit assez petite et que s soit de l'ordre de 0,5. On obtient l'attracteur à droite. Cet exemple permet de comprendre ce que l'on appelle le problème inverse, qui est la recherche de méthodes automatiques pour obtenir un ifs qui approche une image donnée[8].

• C'est le principe de construction d'un arbre fractal[9], ou d'un nuage fractal[10], qui est une variation du rectangle.

Ces quelques objets, parfaitement définis mathématiquement, donnent une petite idée des motivations qui ont pu animer depuis les années 1980 des mathématiciens[11].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Collage theorem » (voir la liste des auteurs).

1. « À la découverte d’une méthode de fabrication d’images fractales. »
2. M. F. Barnsley, S. Demko, "Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals," The Proceedings of the Royal Society of London A 399, p. 243-275 (1985)
3. « Construction de fractales par la méthode des IFS, p.27 »
4. Jean Dieudonné, Éléments d'analyse 1, gauthier-villars, 1963 (ISBN 978-2-04-010410-8 et 2-04-010410-0), problème 3, p.61
5. (en) Barnsley, M. F. (Michael Fielding), 1946-, Fractals everywhere, Academic Press Professional, 1993 (ISBN 0-12-079069-6, OCLC 28025975, lire en ligne), p.94, p. 98
6. « systeme de fonctions iterees, p.21 »
7. (en) « Expository Paper of Sandra S. Snyder », sur scimath.unl.edu (version du 6 juin 2010 sur Internet Archive)
8. (en) « A review of the fractal image compression literature », sur Universitat Freiburg
9. « Arbre fractal », sur mathcurve de robert ferreol
10. (en) collectif, The science of fractal images, springer-verlag, 1988 (ISBN 0-387-96608-0), p.236-237
11. (en) Peitgen, Heinz-Otto, 1945-, The beauty of fractals : images of complex dynamical systems, Springer-Verlag, 1986 (ISBN 3-540-15851-0, OCLC 13331323, lire en ligne), PREFACE

Liens externes

• (en) Une description interactive sur cut-the-knot
• (en) Description par Sandra S. Snyder