Dimension d'Assouad

Dimension d'Assouad sur le triangle de Sierpiński. Pour R=2 et r=1 ${\displaystyle N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=\left({\frac {2}{1}}\right)^{\alpha }}$, donc la dimension peut être ${\displaystyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$ comme la dimension Hausdorff .

En mathématiques, et plus précisément en géométrie fractale, la dimension d'Assouad est une définition de la dimension fractale pour les sous-ensembles d'un espace métrique. Il a été introduit par Patrice Assouad dans sa Thèse de doctorat en 1977 et publié plus tard en 1979. Elle a été défini plus tôt par Georges Bouligand (1928). En plus d'être utilisée pour étudier les fractales, la dimension d'Assouad a également été utilisée pour étudier les applications quasi-conformes et les problèmes de plongement.

Définition

« La dimension d'Assouad de ${\displaystyle X,d_{A}(X)}$, est l'infinimum des ${\displaystyle s}$ tels que ${\displaystyle (X,\varsigma )}$ est ${\displaystyle (M,s)}$-homogène pour un certain ${\displaystyle M\geq 1}$[1]. »

Soit ${\displaystyle (X,d)}$ un espace métrique, et soit ${\displaystyle E}$ être un sous-ensemble non vide de ${\displaystyle X}$ . Pour ${\displaystyle r>0}$, soit ${\displaystyle N_{r}(E)}$ le plus petit nombre de boules ouvertes métriques de rayon inférieur ou égal à r avec lequel il est possible de recouvrir ${\displaystyle E}$. La dimension d'Assouad de ${\displaystyle E}$ est défini comme l'infinumum ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ pour laquelle il existe des constantes positives ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle \rho }$ de sorte que, si

${\displaystyle 0<r<R\leq \rho ,}$

on ait :

${\displaystyle \sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}$

L'intuition sous-jacente à cette définition est que, pour un ensemble E de dimension entière "ordinaire" n, le nombre de petites boules de rayon r nécessaires pour couvrir l'intersection d'une plus grande boule de rayon R avec E sera comme (R/r ) ^n .

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Assouad dimension » (voir la liste des auteurs).

1. Robinson, James C. (2010). Dimensions, Embeddings, and Attractors, p.85. Cambridge University Press. (ISBN 9781139495189).

Bibliographie

• Patrice Assouad, « Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans R^n », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Série A-B, vol. 288, n^o 15,‎ 1979, A731–A734
• M. G. Bouligand, « Ensembles impropres et nombre dimensionnel », Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 52, 1928, p. 320-344