Dix-septième problème de Hilbert

Le dix-septième problème de Hilbert est l'un des vingt-trois problèmes de Hilbert, posés par David Hilbert en 1900. Il s'agissait, dans celui-là, de montrer que toute fonction rationnelle à coefficients réels positive (i.e. ne prenant que des valeurs positives) est somme de carrés de fonctions rationnelles sur ℝ.

Il a été résolu en 1927 par Emil Artin, sur ℝ et plus généralement sur tout corps réel clos. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson. Une solution algorithmique a été trouvée en 1984 par Charles Delzell[1]. Un résultat de Albrecht Pfister[2] montre que toute forme positive en n variables est somme de 2^n carrés[3].

Dubois a prouvé en 1967 que le théorème ne se généralise pas à un corps ordonné quelconque[4]. Dans ce cas, on peut seulement affirmer que tout polynôme positif (en) est combinaison linéaire à coefficients positifs de carrés de fonctions rationnelles[5].

Gondard-Ribenboim[6] et Procesi-Schacher[7] ont donné une généralisation matricielle — toute matrice de fractions rationnelles qui ne prend que des valeurs positives est somme de carrés de matrices symétriques — et Hillar-Nie[8] en ont trouvé une démonstration élémentaire.

La formulation par Hilbert de son 17^e problème (équivalente à la formulation ci-dessus) était : montrer que tout polynôme positif à coefficients réels est somme de carrés de fonctions rationnelles sur ℝ. Hilbert avait démontré en 1888 qu'un tel polynôme n'est pas nécessairement somme de carrés de polynômes mais Motzkin fut le premier, en 1966, à donner un contre-exemple explicite[9],[10] : X^4Y^2 + X^2Y^4 – 3X^2Y^2 + 1. On connaît des conditions suffisantes explicites pour qu'un polynôme soit somme de carrés de polynômes[11],[12]. Un polynôme positif est tout de même toujours limite (pour la norme ℓ^1 sur les coefficients) de sommes de carrés de polynômes[13].

Une question encore ouverte est d'expliciter le plus petit nombre v(n, d) tel que tout polynôme positif de degré d en n variables est somme de v(n, d) carrés de fonctions rationnelles réelles. Le meilleur résultat connu en 2008 est la majoration trouvée par Pfister en 1967[2] : v(n, d) ≤ 2^n.

L'analogue hermitien en analyse complexe, en remplaçant les carrés de fonctions rationnelles par des carrés de normes de fonctions holomorphes, est plus difficile, mais vrai pour les polynômes positifs, d'après un résultat de Quillen[14]. Cependant, le résultat de Pfister ne s'étend pas à ce cas, c'est-à-dire que le nombre de carrés nécessaires n'est pas borné[15].

Notes et références

1. (en) C. N. Delzell, « A continuous, constructive solution to Hilbert's 17th problem », Invent. Math., vol. 76,‎ 1984, p. 365-384 (DOI 10.1007/BF01388465, lire en ligne).
2. (de) Albrecht Pfister, « Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten », Invent. Math., vol. 4,‎ 1967, p. 229-237 (lire en ligne).
3. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, Providence (R.I.), AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 67), 2005, 550 p. (ISBN 0-8218-1095-2, lire en ligne), p. 391.
4. (en) D. W. Dubois, « Note on Artin's solution of Hilbert's 17th problem », Bull. Am. Math. Soc., vol. 73,‎ 1967, p. 540-541, Zbl 0164.04502.
5. (en) Falko Lorenz (de), Algebra. Volume II : Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer, 2008, 340 p. (ISBN 978-0-387-72487-4, lire en ligne), p. 15-27 : p. 16.
6. Danielle Gondard et Paulo Ribenboim, « Le 17^e problème de Hilbert pour les matrices », Bull. Sci. Math. (2), vol. 98, n^o 1,‎ 1974, p. 49-56.
7. (en) Claudio Procesi et Murray Schacher, « A non-commutative real Nullstellensatz and Hilbert's 17th problem », Ann. of Math. (2), vol. 104, n^o 3,‎ 1976, p. 395-406 (DOI 10.2307/1970962).
8. (en) Christopher J. Hillar et Jiawang Nie, « An elementary and constructive solution to Hilbert's 17th problem for matrices », Proc. Am. Math. Soc., vol. 136, n^o 1,‎ 2008, p. 73-76, arXiv:math/0610388.
9. (en) T. S. Motzkin, « The arithmetic-geometric inequality », dans Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965), 1967, p. 205-224.
10. (en) Marie-Françoise Roy, « The role of Hilbert's problems in real algebraic geometry », dans Proceedings of the ninth EWM Meeting, Loccum, 1999.
11. (en) Jean B. Lasserre, « Sufficient conditions for a real polynomial to be a sum of squares », Arch. Math., vol. 89, n^o 5,‎ 2007, p. 390-398 (lire en ligne).
12. (en) Victoria Powers et Thorsten Wörmann, « An algorithm for sums of squares of real polynomials », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 127,‎ 1998, p. 99-104 (lire en ligne).
13. (en) Jean B. Lasserre, « A sum of squares approximation of nonnegative polynomials », SIAM Rev., vol. 49, n^o 4,‎ 2007, p. 651-669 (lire en ligne).
14. (en) Daniel G. Quillen, « On the representation of hermitian forms as sums of squares », Invent. Math., vol. 5,‎ 1968, p. 237-242 (lire en ligne).
15. (en) John P. D'Angelo et Jiri Lebl, « Pfister's theorem fails in the Hermitian case », Proc. Am. Math. Soc., vol. 140, n^o 4,‎ 2012, p. 1151-1157, arXiv:1010.3215.

• (en) Albrecht Pfister, « Hilbert's seventeenth problem and related problems on definite forms », dans Felix E. Browder, Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, AMS, coll. « Proc. Symp. Pure Math. » (n^o XXVIII.2), 1976 (ISBN 0-8218-1428-1), p. 483-489
• (en) A. R. Rajwade, Squares, Cambridge, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (n^o 171), 1993, 286 p. (ISBN 0-521-42668-5, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hilbert's seventeenth problem » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Positivstellensatz de Stengle (en)
• Lemme de Farkas