Catégorie dérivée

La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 4½, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés.

Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la correspondance de Riemann-Hilbert (en) qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.

Cette construction met également à jour la dualité de Verdier (en), une généralisation de celle de Poincaré et de celle d'Alexander.

Construction

Soit A une catégorie abélienne. On note ${\displaystyle C({\mathsf {A}})}$ la catégorie (additive) des complexes de chaînes sur A. On note ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ la catégorie (additive) dont les objets sont ceux de ${\displaystyle C({\mathsf {A}})}$ et les morphismes sont les classes de morphismes de ${\displaystyle C({\mathsf {A}})}$ équivalents par homotopie. ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ est en particulier une catégorie triangulée.

Si on note ${\displaystyle X^{\bullet },Y^{\bullet }}$ des objets de ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ (ce sont des complexes de chaînes), un morphisme ${\displaystyle f:X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme en cohomologie. On note Q la collection des quasi-isomorphismes, alors la catégorie dérivée ${\displaystyle D({\mathsf {A}})}$ de A est la localisation de ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$ par Q.

En se restreignant aux complexes bornés inférieurement, supérieurement ou bornés, on construit respectivement ${\displaystyle D^{-}({\mathsf {A}})}$, ${\displaystyle D^{+}({\mathsf {A}})}$ et ${\displaystyle D^{b}({\mathsf {A}})}$

Il est également possible de définir la catégorie dérivée d'une catégorie exacte.

Lien avec les foncteurs dérivés

La catégorie dérivée est un objet dont les morphismes ne peuvent pas en général être manipulés aisément, au contraire de la catégorie ${\displaystyle K({\mathsf {A}})}$. Il existe un foncteur canonique

${\displaystyle Q:K({\mathsf {A}})\to D({\mathsf {A}})}$.

Si ${\displaystyle F:K({\mathsf {A}})\to K({\mathsf {B}})}$ est un foncteur, on dit que le foncteur dérivé à droite ${\displaystyle RF}$ existe si le foncteur ${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Hom} (QF,GQ)}$ est représentable. Alors

${\displaystyle RF:D({\mathsf {A}})\to D({\mathsf {B}})}$

en est un représentant et coïncide avec la définition usuelle. Le foncteur dérivé à gauche ${\displaystyle LF}$ est défini de manière duale.

Le foncteur ${\displaystyle Q}$ est une équivalence de catégories si on le restreint à une sous-catégorie ${\displaystyle K^{\pm }({\mathsf {A}})}$. En supposant que A possède assez d'injectifs on peut utiliser une résolution injective (ou, de manière duale, s'il y a assez d'objets projectifs, considérer une résolution projective), et définir à partir d'elle un foncteur dérivé à droite (respectivement, à gauche) pour tout foncteur exact à gauche (respectivement, à droite). On définit alors les foncteurs ${\displaystyle R^{\pm }}$ et ${\displaystyle L^{\pm }}$

Articles connexes

• Catégorie triangulée

Références

•  (en) Bernhard Keller, « Derived categories and their uses », dans Michel Hazewinkel, Handbook of algebra, Elsevier, 1996 (ISBN 0-444-82212-7), p. 671-701
• Jean-Louis Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, vol. 239, Société mathématique de France, coll. « Astérisque » (ISSN 0303-1179)
• Jean-Louis Verdier, SGA 4½ (1977)