En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, une 2-catégorie est une catégorie avec des « morphismes entre les morphismes », c'est-à-dire que chaque « ensemble des morphismes » transporte la structure d'une catégorie. Une 2-catégorie peut être formellement définie comme étant une catégorie enrichie au-dessus de Cat (la catégorie des catégories petites et les foncteurs entre elles), avec la structure monoïdale donnée par le produit de deux catégories.
Définition
2-catégorie stricte
Une 2-catégorie (stricte) est la donnée :
d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
pour tous objets A, B, d'une catégorie . Les objets f, g : A → B de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphismes) et les morphismes α : f ⇒ g sont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).
Les 1-morphismes peuvent être composés suivant les objets. Il s'agit de la composition usuelle des morphismes dans une catégorie.
Les 2-morphismes peuvent être composés de deux manières : suivant les objets et suivant les 1-morphismes. Ces deux compositions sont appelées respectivement composition horizontale et composition verticale.
La composition verticale est définie comme suit. Soient deux 0-cellules A et B, et trois 1-morphismes f, g, h : A → B. Soient les 2-morphismes α : f ⇒ g et β : g ⇒ h. Alors la composition verticale de α et β est le 2-morphisme β α : f ⇒ h, qui est la composition de morphismes au sens usuel dans la catégorie .
La composition horizontale est définie comme suit. Soient trois 0-cellules A, B et C, et quatre 1-morphismes f, g: A → B et f' , g' : B → C. Soient deux 2-morphismes α : f ⇒ g et β : f' ⇒ g' . On peut définir les composées de 1-morphismes f'f: A → C et g'g: A → C. Dans une 2-catégorie, on suppose qu'il existe un foncteur de vers , qui associe aux deux 2-morphismes α et β un 2-morphisme noté βα : f'f⇒ g'g. Cela se traduit par une relation de cohérence entre les compositions horizontale et verticale. Si on a quatre 2-morphismes α : f ⇒ f' , α' : f' ⇒ f", β : g ⇒ g' , β' : g' ⇒ g", alors on a (β' β)(α' α) = β'α' βα.
De plus, si idA est le 1-morphisme identité de l'objet A et si IdidA est le 2-morphisme identité de l'objet idA dans la catégorie , alors la composée horizontale de ce 2-morphisme par un 2-morphisme α est égal à α.
Bicatégorie
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Une bicatégorie est une notion faible de 2-catégorie. L'associativité et la composition avec les morphismes identité dans la définition de 2-catégorie stricte sont satisfaites seulement à isomorphisme près.
Une bicatégorie est la donnée :
d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
pour tous objets A, B, d'une catégorie . Les objets f, g : A → B de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphimes) et les morphismes α : f ⇒ g dont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).
pour tout objet A, d'une 1-cellule 1A, appelée morphisme identité ;
pour tout objets A, B, C, d'un foncteur appelé composition horizontale ;
pour tout objets A, B, d'un isomorphisme naturel , appelé uniteur ;
pour tout objets A, B, C, D, d'un isomorphisme naturel appelé associateur ;
Toute 2-catégorie stricte est une bicatégorie dont les uniteurs et associateurs sont des identités.
Morphismes dans une 2-catégorie
Équivalence
Un morphisme f : A → B dans une 2-catégorie est appelé une équivalence s'il existe un morphisme g : B → A et des isomorphismes gf ≅ 1A et fg ≅ 1B.
Adjoint
Une adjonction dans une 2-catégorie consiste en la donnée de deux 1-cellules f : A → B et u : B → A et de deux 2-cellules η : 1A → uf et ε : fu → 1B satisfaisant les équations des triangles, c'est-à-dire les compositions
et
sont des identités.
On dit que f est un adjoint à gauche de u.
Si les deux 2-cellules sont inversibles, on parle d'équivalence adjointe.
Pleinement fidèle, fidèle, conservatif
Un morphisme f: A → B dans une 2-catégorie
est dit fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif) si pour tout objet C dans
, le foncteur induit
Un morphisme f: A → B dans une 2-catégorie
est dit discret s'il est fidèle et conservatif.
Morphismes entre deux 2-catégories
On s'intéresse ici aux relations entre différentes 2-catégories.
2-foncteur strict
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Pseudo-foncteur
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Foncteur laxe
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Équivalence de 2-catégories
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Une équivalence de 2-catégories C et D consiste en la donnée de :
deux pseudo-foncteurs F : C → D, G : D → C ;
deux transformations pseudo-naturelles G∘F → Id, F∘G → Id qui sont des équivalences, c'est-à-dire admettant des transformations pseudo-naturelles formant leurs inverses à isomorphisme près.
Limites
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Monades
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Une monade dans une 2-categorie consiste en la donnée d'une 0-cellule X, d'une 1-cellule t : X → X et de deux 2-cellules μ : t2 ⇒ t et η : idX ⇒ t, satisfaisant les trois mêmes axiomes qu'une monade usuelle (dans la 2-catégorie des catégories).
Une adjonction dans une 2-catégorie donne naissance à une monade.
Doctrines
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