Función zeta

Representación gráfica de la función Zeta de Riemann.

Una función zeta es una función formada por una suma de infinitas funciones elevadas a potencias y "necesariamente" convergentes , o sea que se puede expresar mediante una Serie de Dirichlet:

Una de sus utilizaciones más populares es en el campo de las matemáticas discretas, tendiendo a matemáticas abstractas, por medio del análisis geométrico de cuerpos oscilantes.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)^{s}}$

Ejemplos

Existen varias funciones matemáticas que reciben el nombre de función zeta, llamadas así por la letra griega ζ.

la más famosa es:

• Función zeta de Riemann.

Otras funciones zeta son:

• Función zeta de Artin-Mazur
• Función zeta de Dedekind
• Función zeta de Epstein
• Función zeta de Hasse-Weil
• Función zeta de Hurwitz
• Función zeta de Ihara
• Función zeta de Igusa
• Función zeta de Lefschetz
• Función zeta de Lerch
• Función zeta local
• Función zeta de Minakshisundaram-Pleijel
• Función zeta prima
• Función zeta de Selberg
• Función zeta de Weierstrass
• Función zeta de un álgebra de división

Muchas de estas funciones zeta están íntimamente relacionadas e involucran una serie de importantes relaciones entre sí. Existe consenso entre los matemáticos que seguramente existe una teoría general que permitiría unificar la mayoría de la teoría de funciones zeta y series de Dirichlet; pero al día de hoy no se ha descubierto aún la naturaleza de esa teoría general.

El teorema de Taniyama-Shimura es uno de los avances más recientes en la dirección de una comprensión generalizada. Conjeturas famosas relacionadas incluyen la conjetura de Artin, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer y la hipótesis generalizada de Riemann. La teoría de las funciones L debería contener la teoría de las funciones zeta; una función L es potencialmente un tipo 'extraño o retorcido' de función zeta. La clase S de Selberg es un intento de definir las funciones zeta axiomáticamente, de forma tal que sea posible estudiar las propiedades de la clase, y así poder clasificar a los elementos de la clase.

A pesar de que suena parecido, no se deben confundir las funciones zeta con la función eta.

Enlaces externos

• Una lista de todas las funciones zeta conocidas Archivado el 25 de septiembre de 2006 en Wayback Machine.

• Datos: Q196822