En matemática, la función zeta prima es un análogo de la función zeta de Riemann, estudiada por Glaisher (1891). Está definida por la siguiente serie infinita, la cual converge para todo :
.
El producto de Euler para la función zeta de Riemann ζ(s) implica que
el cual, mediante la fórmula de inversión de Möbius se obtiene que
Cuando s tiende a 1, se tiene que .
Esto es usado en la definición de la densidad de Dirichlet.
Esto da la continuación analítica de P(s), para , con un infinito número de singularidades logarítmicas en los puntos donde ns es un polo o un cero de ζ(s). La línea es una frontera natural, como lo es el grupo de singularidades, cerca de todos los puntos de esta línea.
Referencias
- Merrifield, C. W. (1881). «The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers». Proc. Roy. Soc. London 33: 4-10. doi:10.1098/rspl.1881.0063. JSTOR 113877
- Fröberg, Carl-Erik (1968). «On the prime zeta function». Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3): 187-202. doi:10.1007/BF01933420. MR 0236123.
- Glaisher, J. W. L. (1891). «On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers». Quart. J. Math. 25: 347-362.
- Richard J. Mathar (2008). «Twenty digits of some integrals of the prime zeta function». arXiv:0811.4739.
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