Circuncentro

Símbolo del disco solar en el antiguo Egipto

El circuncentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres mediatrices del triángulo.^[1]^[2]^[3]^[4] ^[5]

El circuncentro es también el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, ya que es equidistante a los tres vértices del mismo. El radio de dicha circunferencia se denomina circunradio, y puede calcularse como la distancia del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo.

En formulación matemática el circuncentro suele denominarse con la letra O, mientras que el circunradio suele denominarse con la letra R.

Propiedades del circuncentro y el circunradio

El circuncentro de un triángulo puede ser interior o exterior al mismo, dependiendo de su clasificación por ángulos:
- Si el triángulo rectángulo, el circuncentro se sitúa en el punto medio de la hipotenusa.
- Si el triángulo obtusángulo, el circuncentro será exterior al triángulo.
- Si el triángulo acutángulo, el circuncentro es interior al triángulo.

El circuncentro, el baricentro y el ortocentro de un triángulo están siempre alineados, y forman parte de la Recta de Euler.
El diámetro de la circunferencia circunscrita es igual a la longitud de cualquiera de los lados dividida por el seno del ángulo opuesto. Esto relaciona el circunradio de un triángulo directamente con el teorema de los senos, cumpliéndose que $2R={\frac {a}{\operatorname {sen} {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\operatorname {sen} {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\operatorname {sen} {\widehat {C}}}}\,$ .
El circunradio está relacionado con el área $S$ del triángulo, cumpliéndose que $R={\dfrac {abc}{4S}}\,$ .
El circunradio también está relacionado con el radio de la circunferencia inscrita de un triángulo $r$ mediante varias fórmulas, cumpliéndose que:

$R={\frac {abc}{2r(a+b+c)}}={\frac {r}{cosA+cosB+cosC-1}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8(1+cosA\,cosB\,cosC)}}}\,$ .

Véase también

Enlaces externos

«Circumcircle of a triangle». Math Open Reference. Consultado el 4 de octubre de 2019.

Referencias

↑ Weisstein, Eric W. «Circumcenter». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
↑ Weisstein, Eric W. «Circumcircle». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
↑ Simmons, Bruce (2011). «Circumcenter». Mathwords (en inglés). Consultado el 20 de febrero de 2012.
↑ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1972). Geometry Revisited. ISBN 0-88385-619-0.
↑ Puig Adam, Pedro (1972). Curso de Geometría Métrica.