Endlichkeitssatz von Ahlfors

In der Mathematik beschreibt der Endlichkeitssatz von Ahlfors die geometrisch endlichen Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Endlichkeitssatz von Ahlfors

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und ${\displaystyle \Omega \subset \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}}$ ihr Diskontinuitätsbereich.

Dann hat ${\displaystyle \Gamma \backslash \Omega }$ endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.

Quantitative Version

Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers[1] zurück.

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit ${\displaystyle N}$ Erzeugern, dann ist

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 4\pi (N-1)}$

mit Gleichheit nur für Schottky-Gruppen.

Für jede ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Zusammenhangskomponente ${\displaystyle \Omega _{1}}$ gilt

${\displaystyle Area(\Gamma \backslash \Omega )\leq 2Area(\Gamma \backslash \Omega _{1})}$

mit Gleichheit nur für Fuchssche Gruppen erster Art.

Höhere Dimension

Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von ${\displaystyle Isom(\mathbb {H} ^{n}),n\geq 4}$, gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.[2][3]

Geschichte

Der Satz wurde 1964 von Ahlfors bewiesen[4] und der Beweis 1967 von Greenberg[5] vervollständigt. Laut Ahlfors hatte Bers zuvor bereits den analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab später Dennis Sullivan, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.

Einzelnachweise

1. L. Bers: Inequalities for finitely generated Kleinian groups, Journal d'Analyse Mathématique 18, 23–41, 1967.
2. M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' finiteness theorem for Kleinian groups in dimension 3, Topology and its Applications 40, 83-91, 1991.
3. M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' and Sullivan's finiteness theorems for Kleinian groups in higher dimensions, Siberian Math. Journ. 32, 61-73, 1991.
4. L. Ahlfors: Finitely generated Kleinian groups, American Journal of Mathematics 86, 413–429, 1964.
5. L. Greenberg: On a theorem of Ahlfors and conjugate subgroups of Kleinian groups, American Journal of Mathematics 89, 56–68, 1967.