Ende (Topologie)

In der Mathematik sind die Enden eines topologischen Raumes anschaulich gesprochen die Zusammenhangskomponenten des „Randes im Unendlichen“. Formal definiert werden sie als Äquivalenzklassen von Komplementen kompakter Mengen.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein (lokal zusammenhängender, zusammenhängender, lokal kompakter, Hausdorffscher) topologischer Raum.

Wir betrachten die Familie ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ aller absteigenden Folgen

${\displaystyle (U_{1}\supset U_{2}\supset U_{3}\supset \ldots )}$

zusammenhängender, offener Mengen mit kompaktem Rand, für die

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline {U_{i}}}=\emptyset }$

gilt.

Auf ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ definieren wir eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ durch

${\displaystyle (U_{1}\supset U_{2}\supset U_{3}\supset \ldots )\sim (V_{1}\supset V_{2}\supset V_{3}\supset \ldots )\Longleftrightarrow \forall n\exists k\colon V_{k}\subset U_{n},U_{k}\subset V_{n}}$.

Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ auf ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ heißen Enden des topologischen Raumes ${\displaystyle X}$.

Als Umgebungen eines Endes werden die offenen Mengen in der jeweiligen Äquivalenzklasse bezeichnet.

Charakterisierung über Komplemente von Kompakta

(Specker, Raymond): Ein Raum hat mindestens ${\displaystyle k}$ Enden, wenn es eine offene Menge mit kompaktem Abschluss gibt, deren Komplement ${\displaystyle k}$ nicht relativ kompakte Zusammenhangskomponenten hat.

Fundamentalgruppe eines Endes

Die Fundamentalgruppe eines Endes ${\displaystyle E}$ wird definiert als der projektive Limes der Fundamentalgruppen der Umgebungen ${\displaystyle U_{i}}$ des Endes ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \pi _{1}(E)=\varprojlim _{i\in I}\pi _{1}(U_{i})}$.

Beispiele

• Die Zahlengerade ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ hat zwei Enden.
• Für ${\displaystyle n\geq 2}$ hat der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ein Ende.
• Sei ${\displaystyle M}$ das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {\overline {M}}}$ mit Rand ${\displaystyle \partial {\overline {M}}}$, also ${\displaystyle M={\overline {M}}-\partial {\overline {M}}}$. Dann entsprechen die Enden von ${\displaystyle M}$ den Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle \partial {\overline {M}}}$.

Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b

• Sei ${\displaystyle X}$ der Cayley-Graph einer nichtabelschen freien Gruppe. Dann hat ${\displaystyle X}$ unendlich viele Enden, es gibt eine Bijektion der Menge der Enden auf eine Cantormenge.
• Nach einem Satz von Freudenthal hat der Cayley-Graph einer Gruppe entweder unendlich viele oder höchstens 2 Enden.

Literatur

• Hughes, Bruce; Ranicki, Andrew: Ends of complexes. Cambridge Tracts in Mathematics, 123. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57625-3
• Freudenthal, Hans: Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comment. Math. Helv. 17, (1945). 1–38. online (PDF; 3,0 MB)