Hyperbolische Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.

Definition

Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle -1}$. (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle -1}$ heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)

Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.

Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{n}}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ der hyperbolische Raum und ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{n})}$ eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.

Hyperbolische Monodromie

Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ isomorph zur Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}M}$ sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to \operatorname {Isom} ({\mathbb {H} }^{n})=O_{0}(n,1)}$ wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.

Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach ${\displaystyle \operatorname {Isom} ^{+}(H^{n})=SO_{0}(n,1)}$ ab.

Literatur

• Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. xiv+330 pp. ISBN 3-540-55534-X
• Kapovich, Michael: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. xxviii+467 pp. ISBN 978-0-8176-4912-8

Weblinks

• John Milnor: Hyperbolic Geometry: The First 150 Years (PDF; 1,5 MB)