عدد بروث

عدد بروث في نظرية الأعداد تم تسميته تيمنًا باسم الرياضي الفرنسي فرانسوا بروث وهو عدد علي صيغة:

${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$

حيث ${\displaystyle k}$ هو عدد صحيح فردي موجب و ${\displaystyle n}$ هو عدد صحيح موجب بحيث ${\displaystyle 2^{n}>k}$. وبدون هذا الشرط الأخير ${\displaystyle 2^{n}>k}$ فأن كل الأعداد الفردية الصحيح الأكبر من الواحد ستكون من أعداد بروث.[1]

وكمثال علي أعداد بروث فأول مجموعة أعداد بروث هي :

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, إلخ.

كما أن عدد فيرما (2^2n+1) وعدد كولن (n·2^n+1) تُعتبر حالة خاصة من عدد بروث.

أعداد بروث الأولية

أعداد بروث الأولية هي :

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857.

ويمكن اختبار أولية أعداد بروث بواسطة مبرهنة بروث التي تنص[2] علي أن عدد بروث ${\displaystyle p}$ هو عدد أولي إذا كان وفقط ${\displaystyle a}$ عددًا صحيحًا للآتي:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}}$

وأكبر عدد بروث أولي معروف كان في عام 2010 هو ${\displaystyle 19249\cdot 2^{13018586}+1}$.[3]

وتم اكتشافه بواسطة كونستانين أجافونوف في مشروع حوسبة موزعة تم الإعلان عنه في 5 مايو 2007[4]، وهو أيضًا أكبر عدد ميرسين أولي تم اكتشافه.[5]

انظر أيضًا

عدد كولن

عدد ميرسين الأولي

مبرهنة بروث

عدد سيربنسكي

مراجع

1. إيريك ويستاين، Proth Number، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
2. إيريك ويستاين، Proth's Theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
3. Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The برايم بيدجز  [لغات أخرى]‏. نسخة محفوظة 11 أكتوبر 2017 على موقع واي باك مشين.
4. Press Release by Seventeen or Bust. 5 May 2007. [وصلة مكسورة] نسخة محفوظة 23 مارس 2016 على موقع واي باك مشين.
5. Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The برايم بيدجز  [لغات أخرى]‏. نسخة محفوظة 12 يونيو 2018 على موقع واي باك مشين.