Matriks idempoten

Dalam aljabar linear, matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri.^[1][2] Dengan kata lain, matriks ${\displaystyle A}$ dikatakan idempoten jika dan hanya jika ${\displaystyle A^{2}=A}$. Agar hasil perkalian ${\displaystyle A^{2}}$ terdefinisi, ${\displaystyle A}$ harus berupa matriks persegi. Matriks idempoten dapat dipandang sebagai unsur idempoten pada sebuah gelanggang matriks.

Contoh dari matriks idempoten ukuran ${\displaystyle 2\times 2}$ adalah: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$$

Contoh dari matriks idempoten ukuran ${\displaystyle 3\times 3}$ adalah: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$$

Jika sebuah matriks riil idempoten ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$, maka entri-entrinya memiliki hubungan berikut:

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\displaystyle b=ab+bd,}$ mensyaratkan ${\displaystyle b(1-a-d)=0}$ sehingga ${\displaystyle b=0}$ atau ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle c=ca+cd,}$ mensyaratkan ${\displaystyle c(1-a-d)=0}$ sehingga ${\displaystyle c=0}$ atau ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}.}$

Dengan demikian, syarat perlu bagi matriks 2 × 2 dikatakan idempoten adalah berupa matriks diagonal atau terasnya bernilai 1. Untuk matriks diagonal idempoten, nilai ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle d}$ harus bernilai 1 atau bernilai 0.

Jika ${\displaystyle b=c}$, matriks ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ akan idempoten ketika ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}$. Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,}$ atau ${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$,

yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat θ, matriks

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$

bersifat idempoten. Namun, ${\displaystyle b=c}$ pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$ dengan ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$ adalah matriks idempoten.

Satu-satunya matriks idempoten yang tidak singular adalah matriks identitas. Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan ${\displaystyle A^{2}=A}$; dengan mengasumsikan ${\displaystyle A}$ memiliki peringkat penuh (tidak singular), dan mengalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle A^{-1}}$, akan didapatkan bentuk ${\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}$. Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas, memiliki jumlah baris (dan jumlah kolom) yang saling bebas linear lebih sedikit daripada total jumlah baris (dan kolom) pada matriks.

Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten, hasilnya juga berupa matriks idempoten, karena

${\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.}$

Jika sebuah matriks ${\displaystyle A}$ idempoten, maka untuk setiap bilangan bulat positif ${\displaystyle n}$ akan berlaku ${\displaystyle A^{n}=A}$. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika: Jelas hal ini berlaku untuk ${\displaystyle n=1}$, karena ${\displaystyle A^{1}=A}$. Anggap bahwa ${\displaystyle A^{k-1}=A}$. Selanjutnya ${\displaystyle A^{k}}$ dapat dituliskan sebagai ${\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}$, karena ${\displaystyle A}$ idempoten. Berdasarkan prinsip induksi, pernyataan terbukti.

Matriks idempoten selalu dapat didiagonalkan dan nilai eigennya selalu bernilai 0 atau 1.^[3]

Nilai teras dari sebuah matriks idempoten — yakni jumlah semua elemen pada diagonal utamanya — sama dengan nilai peringkat dari matriks dan selalu berupa bilangan bulat. Hal ini memberikan cara mudah untuk menghitung nilai peringkat, atau sebagai cara alternatif menghitung teras dari matriks yang entri-entrinya tidak diketahui secara pasti. Dalam statistika, sebagai contoh, hal tersebut dipakai dalam menentukan derajat bias ketika menggunakan variansi sampel sebagai estimator variansi populasi.

Matriks idempoten sering muncul dalam analisis regresi dan ekonometrika. Sebagai contoh, dalam ordinary least squares, permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien ${\displaystyle \beta }$ sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu ${\displaystyle e_{i}}$ (prediksi yang salah). Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,

Minimumkan ${\displaystyle (y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )}$

dengan ${\displaystyle y}$ adalah vektor dari variabel terikat hasil observasi, dan ${\displaystyle X}$ adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah variabel-variabel bebas dalam observasi. Estimator untuk vektor ${\displaystyle \beta }$ adalah

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

dengan simbol ${\displaystyle {\textsf {T}}}$ menunjukkan operasi transpos; vektor residu dari observasi adalah^[2]

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}$

Dalam persamaan ini, baik matriks ${\displaystyle M}$ dan ${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$ adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu:

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.}$

Sifat idempoten dari ${\displaystyle M}$ juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya, contohnya dalam menentukan variansi dari estimator ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$.