Matriks stokastik

Dalam matematika, matriks stokastik adalah matriks persegi yang digunakan untuk peralihan yang terjadi pada rantai Markov. Matriks ini juga dikenal dengan sebutan matriks probabilitas, matriks transisi, matriks subtitusi, dan matriks Markov.^[1]:9-11 Setiap entri pada matriks stokastik berupa bilangan real tak negatif yang menyatakan suatu probabilitas.^[1]:9-11[2] Matriks ini dikembangkan oleh Andrey Markov pada awal abad ke-20, dan saat ini digunakan pada banyak bidang sains, termasuk teori probabilitas, statistika, matematika keuangan, dan aljabar linear, juga ilmu komputer dan genetika populasi.^[1]:1–8 Ada beberapa definisi berbeda dan tipe dari matriks stokastik:^[1]:9–11

Matriks stokastik kanan adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada baris sama dengan 1.

Matriks stokastik kiri adalah matriks real persegi dengan jumlah dari setiap elemen pada kolom sama dengan 1.

Matriks stokastik ganda adalah matriks persegi dengan elemen-elemen tak negatif dan jumlah dari setiap elemen pada baris maupun pada kolom sama dengan 1.

Dengan dasar yang sama, vektor stokastik (juga disebut vektor probabilitas) adalah vektor yang elemen-elemennya berupa bilangan real tak negatif dan totalnya sama dengan 1. Artikel ini menggunakan konvensi^[1]:1–8 matriks stokastik kanan dan vektor probabilitas berupa vektor baris, ketimbang matriks stokastik kiri dan vektor probabilitas berupa vektor kolom.

Matriks stokastik dikembangkan bersama dengan konsep rantai Markov oleh Andrey Markov, seorang matematikawan Rusia dan profesor di Universitas St. Petersburg, yang mempublikasikan topik ini pada tahun 1906.^[1]:1–8[3] Topik ini awalnya ditujukan untuk analisis linguistik dan subjek-subjek matematika lain seperti mengocok kartu, tapi rantai dan matriks Markov dengan cepat diterapkan pada bidang-bidang lain.^{[1]:1-8[3][4]}

Matriks stokastik dikembangkan lebih jauh oleh Andrey Kolmogorov, yang memperumumnya untuk proses Markov dengan waktu yang kontinu.^[5] Pada tahun 1950-an, makalah yang menggunakan matriks stokastik muncul pada bidang ekonometrika^[6] dan teori sirkuit.^[7] Satu dekade kemudian, matriks stokastik muncul pada lebih banyak bidang, dari ilmu perilaku^[8] ke geologi^[9][10] sampai rencana tata ruang.^[11] Dalam masa ini pula, aspek teoritis dikembangkan untuk memperluas fungsi dan kegunaan matriks stokastik dan rantai Markov.

Dari tahun 1970-an sampai saat ini, penggunaan matriks stokastik dapat ditemukan pada hampir semua bidang yang memerlukan analisis formal, dari teknik struktur^[12] sampai diagnosis medis^[13] sampai manajemen personalia.^[14]

Matriks stokastik mencirikan suatu rantai Markov X_t atas ruang probabilitas terhingga S dengan kardinalitas S. Misalkan peluang dari berpindah dari keadaan i ke keadaan j dalam satu tahap waktu adalah Pr(j|i) = P_i,j. Misalkan pula matriks stokastik ${\displaystyle \mathbf {P} }$ dengan P_i,j menyatakan elemen baris ke-i dan kolom ke-j, yakni

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{matrix}P_{1,1}&P_{1,2}&\dots &P_{1,j}&\dots &P_{1,S}\\P_{2,1}&P_{2,2}&\dots &P_{2,j}&\dots &P_{2,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{i,1}&P_{i,2}&\dots &P_{i,j}&\dots &P_{i,S}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\P_{S,1}&P_{S,2}&\dots &P_{S,j}&\dots &P_{S,S}\\\end{matrix}}\right].}$$

Karena peluang berpindah dari keadaan i ke semua kemungkinan keadaan haruslah sama dengan 1, $${\displaystyle \sum _{j=1}^{S}P_{i,j}=1;\,}$$maka matriks ${\displaystyle \mathbf {P} }$ adalah matriks stokastik kanan.^[1]:1–8

Penjumlahan elemen-demi-elemen dari baris ke-i matriks ${\displaystyle \mathbf {P} }$ dapat ditulis secara ringkas sebagai ${\displaystyle \mathbf {P1} =\mathbf {1} }$, dengan ${\displaystyle \mathbf {1} }$ adalah vektor berdimensi-S dengan semua elemennya bernilai 1. Menggunakan persamaan ini, dapat ditunjukkan bahwa perkalian dua matriks stokastik ${\displaystyle \mathbf {P} '}$ dan ${\displaystyle \mathbf {P} ''}$ juga berupa matriks stokastik:${\displaystyle \mathbf {P'P''1} =\mathbf {P'} (\mathbf {P''1} )=\mathbf {P'} \mathbf {1} =\mathbf {1} }$. Dinyatakan secara umum, ${\displaystyle \mathbf {P} ^{k}}$ sebagai matriks pangkat ke-k dari ${\displaystyle \mathbf {P} }$ juga berupa matriks stokastik kanan. Matriks perpangkatan ini menyimpan informasi peralihan antar keadaan secara lebih umum. Matriks elemen-elemen ${\displaystyle \mathbf {P} ^{k}}$ berisi peluang peralihan dari satu keadaan ke keadaan lain dalam k tahap Sebagai contoh, peluang peralihan dari keadaan i ke keadaan j dalam dua tahap dapat terlihat dari elemen ke-(i, j) kuadrat ${\displaystyle \mathbf {P} }$:

${\displaystyle \left(\mathbf {P} ^{2}\right)_{i,j}.}$