Klein empat grup

Dalam matematika, Klein empat grup adalah grup dengan empat elemen, di mana setiap elemen adalah self-inverse (menyusunnya dengan sendirinya menghasilkan identitas) dan di mana menyusun dua dari tiga elemen non-identitas menghasilkan yang ketiga. Ini dapat dideskripsikan sebagai grup simetri dari non-persegi persegi panjang (dengan tiga elemen non-identitas menjadi refleksi horizontal dan vertikal dan rotasi 180 derajat), sebagai grup operasi bitwise eksklusif atau pada nilai biner dua bit, atau lebih abstrak sebagai Z₂ × Z₂, produk langsung dari dua salinan dari grup siklik dari pesanan 2. Nama Vierergruppe (yang berarti empat grup) oleh Felix Klein pada tahun 1884.^[1] Ini juga disebut Grup Klein, dan sering dilambangkan dengan huruf V atau sebagai K₄.

Grup empat Klein, dengan empat elemen, adalah grup terkecil yang bukan merupakan grup siklik. Hanya ada satu grup lain dari orde empat, hingga isomorfisme, grup siklik urutan 4. Keduanya adalah grup abelian. Golongan non-abelian terkecil adalah golongan simetris derajat 3, yang berurutan 6.

Presentasi

Tabel Cayley dari grup Klein diberikan oleh:

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

Empat kelompok Klein juga ditentukan oleh presentasi grup

\mathrm {V} =\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .

Semua elemen non - identitas dari grup Klein memiliki urutan 2, sehingga dua elemen non-identitas mana pun dapat berfungsi sebagai generator dalam presentasi di atas. Empat kelompok Klein adalah non-grup siklik terkecil. Namun ini adalah kelompok abelian, dan isomorfik ke kelompok dihedral urutan (kardinalitas) 4, yaitu D₄ (atau D₂, menggunakan konvensi geometris); selain grup urutan 2, itu adalah satu-satunya grup dihedral yang abelian.

Grup empat Klein juga isomorfik terhadap jumlah langsung Z₂ ⊕ Z₂, sehingga bisa direpresentasikan sebagai pasangan {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} di bawah penambahan berdasarkan komponen modulo 2 (atau yang setara dengan bit strings {00, 01, 10, 11} di bawah bitwise XOR); dengan (0,0) menjadi elemen identitas kelompok. Jadi, empat kelompok Klein adalah contoh dari kelompok abelian dasar 2, yang juga disebut grup Boolean. Kelompok empat Klein dengan demikian juga kelompok yang dihasilkan oleh perbedaan simetris sebagai operasi biner pada himpunan bagian dari himpunan kekuatan dari suatu himpunan dengan dua elemen, yaitu di atas bidang himpunan dengan empat elemen, misalnya $\{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}$ ; himpunan kosong adalah elemen identitas grup dalam kasus ini.

Konstruksi numerik lain dari grup empat Klein adalah himpunan { 1, 3, 5, 7 }, dengan operasi menjadi perkalian modulo 8. Di sini a adalah 3, b adalah 5, dan c = ab adalah 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).

Empat grup Klein memiliki representasi sebagai matriks nyata 2x2 dengan operasi perkalian matriks:

e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\,a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,\,b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,\,c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

Geometri

Secara geometris, dalam dua dimensi, empat grup Klein adalah grup simetri dari belah ketupat dan persegi panjang yang bukan persegi, Empat elemen tersebut adalah identitas, refleksi vertikal, refleksi horizontal, dan rotasi 180 derajat.

Dalam tiga dimensi, ada tiga kelompok simetri berbeda yang secara aljabar merupakan empat grup Klein V:

satu dengan tiga sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus: D₂
satu dengan sumbu rotasi 2 kali lipat, dan bidang refleksi tegak lurus: C_2h = D_1d
satu dengan sumbu rotasi 2 kali lipat dalam bidang refleksi (dan karenanya juga dalam bidang refleksi tegak lurus): C_2v = D_1h.

Representasi permutasi

Tiga elemen orde dua dalam grup empat Klein dapat dipertukarkan: grup automorfisme dari V adalah grup permutasi dari ketiga elemen ini.

Permutasi empat kelompok Klein dari elemennya sendiri dapat dianggap secara abstrak sebagai representasi permutasi pada empat poin:

V = { (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) }

Dalam representasi ini, V adalah subgrup normal dari grup bergantian A₄ (dan juga grup simetris S₄) pada empat huruf. Nyatanya, ini adalah kernel dari sebuah surjektif group homomorphism dari S₄ ke S₃.

Representasi lain di dalam S₄ adalah:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

Mereka bukan subgrup normal dari S_4.

Aljabar

Menurut teori Galois, keberadaan empat kelompok Klein (dan khususnya, representasi permutasi dari itu) menjelaskan keberadaan rumus untuk menghitung akar persamaan kuartik s dalam hal radikal, sebagaimana ditetapkan oleh Lodovico Ferrari: peta S₄ → S₃ sesuai dengan kubik pemecah, dalam hal resolusi Lagrange.

Dalam konstruksi gelanggang berhingga, delapan dari sebelas cincin dengan empat elemen memiliki empat kelompok Klein sebagai substruktur aditifnya.

Jika R^× menunjukkan kelompok perkalian dari non-nol real dan R⁺ kelompok perkalian riil positif, R^× × R^× adalah grup unit dari gelanggang R × R, dan R⁺ × R⁺ adalah subgrup dari R^× × R^× (sebenarnya ini adalah komponen identitas dari R^× × R^×). Grup hasil bagi (R^× × R^×) / (R⁺ × R⁺) isomorfik ke empat kelompok Klein. Dengan cara yang sama, kelompok unit gelanggang bilangan kompleks pisah, jika dibagi dengan komponen identitasnya, juga menghasilkan grup empat Klein.

Teori grafik

sederhana grafik terhubung yang paling sederhana yang mengakui empat grup Klein sebagai grup automorfisme adalah grafik berlian yang ditunjukkan di bawah ini. Ini juga merupakan grup automorfisme dari beberapa grafik lain yang lebih sederhana dalam arti memiliki lebih sedikit entitas. Ini termasuk grafik dengan empat simpul dan satu sisi, yang tetap sederhana tetapi kehilangan konektivitas, dan grafik dengan dua simpul yang dihubungkan satu sama lain oleh dua sisi, yang tetap terhubung tetapi kehilangan kesederhanaan.

Musik

Dalam komposisi musik, empat kelompok adalah kelompok dasar permutasi dalam teknik dua belas nada. Dalam contoh itu tabel Cayley ditulis;^[2]

S	I:	R:	RI:
I:	S	RI	R
R:	RI	S	I
RI:	R	I	S

Lihat pula

Referensi

^ Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Kuliah tentang ikosahedron dan solusi persamaan derajat kelima)
^ Babbitt, Milton. (1960) "Twelve-Tone Invariants as Compositional Determinants", Musical Quarterly 46(2):253 Edisi Khusus: Masalah Musik Modern: Seminar Princeton dalam Studi Musik Tingkat Lanjut (April): 246–59, Oxford University Press

Bacaan lebih lanjut

M. A. Armstrong (1988) Groups and Symmetry, Springer Verlag, page 53.
W. E. Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra, D.C. Heath & Co., page 20.