Kelas grup

Kelas grup adalah teoritis himpunan grup yang menggunakan sifat jika G dalam koleksi maka grup isomorfik ke G juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas). Karena teori himpunan tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari kelas.

Definisi

Kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$ adalah kumpulan grup sehingga jika ${\displaystyle G\in {\mathfrak {X}}~}$ dan ${\displaystyle G\cong H~}$ maka ${\displaystyle H\in {\mathfrak {X}}~}$. Grup di kelas ${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$ disebut sebagai grup-${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$.

Untuk himpunan grup ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$, dilambangkan dengan ${\displaystyle ({\mathfrak {I}})}$ kelas terkecil dari grup ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$. Khususnya untuk grup ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle (G)}$ menunjukkan kelas isomorfismenya.

Contoh

Contoh paling umum dari kelas grup adalah:

• ${\displaystyle \emptyset }$: kelas grup kosong
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$: kelas grup siklik.
• ${\displaystyle {\mathfrak {A}}~}$: kelas grup Abelian.
• ${\displaystyle {\mathfrak {U}}~}$: kelas terbatas grup solvabel
• ${\displaystyle {\mathfrak {N}}~}$: kelas dari grup nilpoten
• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}~}$: kelas dari hingga grup divisibel
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$: kelas terbatas grup sederhana
• ${\displaystyle {\mathfrak {E}}~}$: kelas grup hingga
• ${\displaystyle {\mathfrak {G}}~}$: kelas berkas dari grup

Produk kelas grup

Dua kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}~}$ didefinisikan sebagai produk kelas

${\displaystyle {\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}~=(G|G{\text{ sebagai subgrup normal }}N\in {\mathfrak {X}}{\text{ dengan }}G/N\in {\mathfrak {Y}})}$

Konstruksi ini memungkinkan untuk secara rekursif mendefinisikan pangkat kelas dengan

${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{0}=(1)}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{n}={\mathfrak {X}}^{n-1}{\mathfrak {X}}}$

Harus dicatat bahwa operasi biner pada kelas kelas grup bukan asosiatif atau komutatif. Misalnya, pertimbangkan grup alternatif dari derajat 4 (dan urutan 12); grup ini milik kelas ${\displaystyle ({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$ karena memiliki sebagai subgrup ${\displaystyle V_{4}}$ dengan ${\displaystyle {\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}}$ dan selanjutnya ${\displaystyle A_{4}/V_{4}\cong C_{3}}$ adalah ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$. Namun ${\displaystyle A_{4}}$ tidak memiliki subgrup siklik normal non-trivial, jadi ${\displaystyle A_{4}\not \in {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})}$. Maka ${\displaystyle {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})\not =({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$.

Namun dari definisi untuk tiga kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$, dan ${\displaystyle {\mathfrak {Z}}}$,

${\displaystyle {\mathfrak {X}}({\mathfrak {Y}}{\mathfrak {Z}})\subseteq ({\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}){\mathfrak {Z}}}$

Peta kelas dan operasi penutupan

Peta kelas c adalah peta kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ke kelas grup ${\displaystyle c{\mathfrak {X}}}$. Peta kelas dikatakan sebagai operasi penutupan jika sifat berikutnya:

1. c adalah ekspansif: ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {X}}}$
2. c adalah idempoten: ${\displaystyle c{\mathfrak {X}}=c(c{\mathfrak {X}})}$
3. c adalah monotonik: jika ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq {\mathfrak {Y}}}$ maka ${\displaystyle c{\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {Y}}}$

Beberapa contoh operasi penutupan yang paling umum adalah:

• ${\displaystyle S{\mathfrak {X}}=(G|G\leq H,\ H\in {\mathfrak {X}})}$
• ${\displaystyle Q{\mathfrak {X}}=(G|{\text{maka }}H\in {\mathfrak {X}}{\text{ dan epimorfisme dari }}H{\text{ ke }}G)}$
• ${\displaystyle N_{0}{\mathfrak {X}}=(G|{\text{ maka }}K_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ subnormal di }}G{\text{ dengan }}K_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ dan }}G=\langle K_{1},\cdots ,K_{r}\rangle )}$
• ${\displaystyle R_{0}{\mathfrak {X}}=(G|{\text{ maka }}N_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ normal di }}G{\text{ dengan }}G/N_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ dan }}\bigcap \limits _{i=1}^{r}Ni=1)}$
• ${\displaystyle S_{n}{\mathfrak {X}}=(G|G{\text{ adalah subnormal di }}H{\text{ untuk beberapa }}H\in {\mathfrak {X}})}$

Lihat pula

• Pembentukan

Referensi

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Classes of finite groups, Mathematics and Its Applications (Springer), 584, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4718-3, MR 2241927 
• Doerk, Klaus; Hawkes, Trevor (1992), Finite soluble groups, de Gruyter Expositions in Mathematics, 4, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-012892-5, MR 1169099