Ekstensi aljabar

Dalam aljabar abstrak, Medan ekstensi L/K disebut aljabar jika setiap elemen L adalah aljabar di atas K, yaitu jika setiap elemen L adalah akar dari beberapa polinomial bukan nol dengan K. Ekstensi bidang yang bukan aljabar, yaitu yang berisi elemen transendental, disebut transendental.

Misalnya, bidang ekstensi R/Q, yaitu bidang bilangan real sebagai perpanjangan dari bidang bilangan rasional, bersifat transendental, sedangkan bidang ekstensi C/R dan Q(√2)/Q bersifat aljabar, di mana C adalah bidang bilangan kompleks.

Semua ekstensi transendental adalah derajat tak terbatas. Ini pada gilirannya menyiratkan bahwa semua ekstensi hingga adalah aljabar.[1] Namun kebalikannya tidak benar: ada perluasan tak terbatas yang bersifat aljabar. Misalnya, bidang semua bilangan aljabar s adalah perpanjangan aljabar tak terhingga dari bilangan rasional.

Jika a aljabar berakhir K, maka K[a], himpunan semua polinomial dalam a dengan koefisien dalam K, bukan hanya cincin tetapi juga bidang: perpanjangan aljabar dari K yang telah berakhir derajatnya K. Kebalikannya juga benar, jika K[a] adalah bidang, lalu a aljabar berakhir K. Dalam kasus khusus di mana K = Q adalah bidang bilangan rasional, Q[a] adalah contoh dari bidang bilangan aljabar.

Bidang tanpa ekstensi aljabar yang tepat disebut tertutup secara aljabar. Contohnya adalah bidang bilangan kompleks. Setiap bidang memiliki ekstensi aljabar yang ditutup secara aljabar (disebut penutup aljabar), tetapi membuktikan hal ini secara umum memerlukan beberapa bentuk aksioma pilihan.

Sebuah ekstensi L/K adalah aljabar jika dan hanya jika setiap sub K, aljabar dari L adalah bidang.

Properti

Kelas ekstensi aljabar membentuk kelas dibedakan dari ekstensi bidang, yaitu, tiga properti berikut ini berlaku:[2]

  1. Jika E adalah perpanjangan aljabar dari F dan F merupakan perpanjangan aljabar dari K maka E adalah perpanjangan aljabar dari K.
  2. Jika E dan F adalah ekstensi aljabar dari K dalam overfield umum C, maka compositum EF adalah ekstensi aljabar dari K.
  3. Jika E adalah perpanjangan aljabar dari F dan E> K>F maka E adalah perpanjangan aljabar dari K.

Hasil finiter ini dapat digeneralisasikan menggunakan induksi transfinite:

  1. Penyatuan rantai ekstensi aljabar apa pun di atas bidang dasar itu sendiri merupakan perluasan aljabar di atas bidang dasar yang sama.

Fakta ini, bersama dengan lemma Zorn (diterapkan pada poset yang dipilih secara tepat), menetapkan adanya penutup aljabar.

Generalisasi

Artikel utama: Substruktur (matematika)

Teori model menggeneralisasi gagasan perluasan aljabar menjadi teori arbitrer: embedding dari M menjadi N disebut ekstensi aljabar jika untuk setiap x di N ada rumus p dengan parameter di M, misalnya p(x) benar dan himpunannya

terbatas. Ternyata menerapkan definisi ini pada teori medan memberikan definisi yang biasa tentang perluasan aljabar. Grup Galois dari N di atas M dapat lagi didefinisikan sebagai grup dari automorfisme, dan ternyata sebagian besar teori kelompok Galois dapat dikembangkan untuk.

Lihat pula

Catatan

  1. ^ See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
  2. ^ Lang (2002) p.228

Referensi