黄金分割搜索

黄金分割搜索是一种通过不断缩小单峰函数的最值的已知范围，从而找到最值的方法。它的名称源于这个算法保持了间距具有黄金分割特性的三个点。这个算法与斐波那契搜索和二分查找关系紧密。黄金分割搜索是由Kiefer提出的，而斐波那契搜索是由Avriel和Wilde所提出。

黄金分割搜索示意图

内容

基本概念

上图表示了算法中找最小值的一个步骤。${\displaystyle f(x)}$的函数值位于垂直坐标轴上，参数x位于水平坐标轴。已经有三个位于函数${\displaystyle f(x)}$上的点的值被计算出来。: ${\displaystyle x_{1}}$，${\displaystyle x_{2}}$，和${\displaystyle x_{3}}$。可见${\displaystyle f_{2}}$小于${\displaystyle f_{1}}$和${\displaystyle f_{3}}$，所以很明显的，最小值处于${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{3}}$之间。

接下来的步骤是通过计算函数位于另一个点${\displaystyle x4}$的值。在最大的区间选择${\displaystyle x4}$会更有效率，例如：${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{3}}$之间。从图中我们可以看出，如果函数的值落在${\displaystyle f_{4a}}$的话，最小值落于${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{4}}$之间，并且新的一组点将会是${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{4}}$。然而如果函数的值为${\displaystyle f_{4b}}$的话，新的一组点将会是${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{4}}$和${\displaystyle x_{3}}$。因此，无论是哪种情况，我们都可以建立一个新的更狭窄的区间，用于搜索函数的最小值。

点的选择

由图可知，新的区间会介于${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{4}}$，长度为a+c，或者介于${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{3}}$，长度为${\displaystyle b}$。黄金分割搜索要求这些区间是相等的。若不是如此，较宽的区间会被使用很多次，降低了收敛率。为了确保${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle c}$，算法应确保${\displaystyle x_{4}}$ = ${\displaystyle x_{1}}$ - ${\displaystyle x_{2}}$ + ${\displaystyle x_{3}}$。

然而${\displaystyle x_{2}}$的确定仍是一个问题。我们避免了${\displaystyle x_{2}}$非常接近${\displaystyle x_{1}}$或者${\displaystyle x_{3}}$的情况，确保了每一次迭代区间宽度会缩小同样的比例。

为了确保计算${\displaystyle f(x_{4})}$后的值与之间的成比例，假设${\displaystyle f(x_{4})}$的值为${\displaystyle f_{4}a}$，且我们新的一组点为${\displaystyle x_{1}}$，${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{4}}$，则必须使：

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}}$。然而，如果${\displaystyle f(x_{4})}$的值为${\displaystyle f_{4}b}$，并且我们新的一组点为${\displaystyle x_{2}}$，${\displaystyle x_{4}}$和${\displaystyle x_{3}}$，则必须使：

${\displaystyle {\frac {c}{b-c}}={\frac {a}{b}}}$。结合${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle c}$可解得

${\displaystyle {\frac {b}{a}}=\varphi }$

而φ就是黄金比例：

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988\ldots }$

这就是这个算法被称为黄金分割搜索的原因。

3.终止条件

4.递归算法

5.斐波那契搜索

6.参阅