开普勒三角

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于${\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi }$，其中${\displaystyle \phi }$是黄金比，${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与勾股定理巧妙地结合在了一起.

开普勒三角形

与代数的关系

给定两个正实数a、b，若他们的算术平均数、几何平均数、调和平均数能够构成一个直角三角形，那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。

作开普勒三角形

开普勒三角形可通过尺规作图法作出。方法是先作出黄金矩形。

通过黄金矩形，用尺规作图作开普勒三角

1. 用尺规作图法作一个正方形
2. 作出其中一边的中点
3. 连接这一中点与与之相对的正方形的顶点
4. 以这一中点为圆心，已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
5. 补全作出的黄金矩形
6. 以黄金矩形的一个顶点为圆心，一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点，连接该点与顶点，即作出了开普勒三角形。

數學巧合

正方形和圓的周長近似相等

若繪製一個三邊為${\displaystyle a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,}$的开普勒三角形，並且考慮

• 其外接圓
• 邊長等於${\displaystyle a{\sqrt {\varphi }}}$（三角形中數值介於中間的邊長）的正方形

則正方形的周長（${\displaystyle 4a{\sqrt {\varphi }}}$）和圓的周長（${\displaystyle a\pi \varphi }$）相當接近，誤差小於0.1%。

這是因為${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}}$的數學巧合，上述的圓和正方形其周長不可能相同，若是相同，就可以求解化圓為方的不可能問題了。換句話說${\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}}$，因為${\displaystyle \pi }$是超越數。

一些資料指出，埃及金字塔設計時有用到开普勒三角[1][2]。不過古埃及人可能不知道有關${\displaystyle \pi }$和黃金比例${\displaystyle \varphi }$之間的數學巧合[3]。

參考資料

1. Squaring the circle, Paul Calter. [2016-12-28]. （原始内容存档于2011-09-02）. 
2. The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)
3. Markowsky, George. Misconceptions about the Golden Ratio (PDF). College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). January 1992, 23 (1): 2–19. JSTOR 2686193. doi:10.2307/2686193. （原始内容存档 (PDF)于2020-12-11）. It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings 

参见

• 黄金菱形
• 黄金三角形