零点

此条目的主題是数学上的一种定义。关于零点的其他含义，請見「零点 (消歧义)」。

提示：此条目的主题不是原點。

对全纯函数${\displaystyle f}$，称满足${\displaystyle f(a)=0}$的复数${\displaystyle a}$为 ${\displaystyle f}$的零点（英語：Zero）。

零点的阶

如果${\displaystyle f}$可以被写成以下的形式：

${\displaystyle f(z)=(z-a)g(z)\,}$

那么称${\displaystyle a}$是${\displaystyle f}$的简单零点，或称${\displaystyle f}$的一阶零点。 其中${\displaystyle a}$是一个复数，${\displaystyle g}$是全纯函数，且${\displaystyle g(a)}$不为零。

一般地，如果能找到一个最大的正整数${\displaystyle n}$,使得下式成立：

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z)\ }$且${\displaystyle \ g(a)\neq 0.\,}$

那么，称${\displaystyle n}$为${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$处的零点的阶，${\displaystyle a}$为函数${\displaystyle f}$的 ${\displaystyle n}$阶零点。

零点的存在

代数基本定理说明，任何一个不是常数的複系数多项式在复平面内都至少有一个零点。这与实数的情况不一样：有些实系数多项式没有实数根。一个例子是${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$。

性质

不恒为0的全纯函数的零点有一个重要的性质：零点都是孤立的。也就是说，对于不恒为0的全纯函数的任何一个零点，都存在一个邻域，在这个邻域内没有其它零点。

参见

• 根 (数学)
• 極點 (複分析)
• 赫尔维茨定理（英语：Hurwitz's theorem (complex analysis)）

参考文献

• Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3. 
• Conway, John. Functions of One Complex Variable II. Springer. 1995. ISBN 0-387-94460-5. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Root. MathWorld. 
• 零点和极点的教程